Espérance Conditionnelle
Bonsoir,
Si on se donne $Y$, une variable aléatoire de loi géométrique de paramètre $p$ et $X_{1}, X_{2}, ..., X_{N}$, N variables aléatoires indépendantes de loi Binomiale $(Y, p)$
(Convention pour Y : $P(Y=k) = q^{k-1}p$
A-ton $E(\prod_{i=1}^{N} X_{i} | Y=k) = (kp)^{N}?$
La finalité étant de calculer $E(\prod_{i=1}^{N} X_{i}) = p^{N}(1-p) \sum_{k>=1} (k^{N}p^{k})$? mais mon résultat est clairement faux
)
Si on se donne $Y$, une variable aléatoire de loi géométrique de paramètre $p$ et $X_{1}, X_{2}, ..., X_{N}$, N variables aléatoires indépendantes de loi Binomiale $(Y, p)$
(Convention pour Y : $P(Y=k) = q^{k-1}p$
A-ton $E(\prod_{i=1}^{N} X_{i} | Y=k) = (kp)^{N}?$
La finalité étant de calculer $E(\prod_{i=1}^{N} X_{i}) = p^{N}(1-p) \sum_{k>=1} (k^{N}p^{k})$? mais mon résultat est clairement faux
) Réponses
-
Pourquoi voudrais-tu que ce soit faux ?
-
Il y a quelques petites erreurs :
- Dans l'énoncé, $p$ désigne la probabilité de tomber sur « pile ». Notons $q = 1-p$ la probabilité de tomber sur « face ».
- Conditionnellement à $Y$, les $X_i$ suivent la loi $\mathrm{Binomiale}(Y,q)$.
- La variable $Y$ peut prendre la valeur $0$ (auquel cas Alice obtient le nombre $0$). Pour tout $k \in \N,\ P(Y=k) = qp^k$.
-
Merci Simeon, oui j'avais corrigé chez moi le dilemne p/q.
Mais j'arrive toujours à $q^{N+1}\sum_{k} k^{N}p^{k}$ et pour le coup, cela me donne encore une série en $p$ et non un polynôme de degré fini.
Qu'est ce que je fais mal ? (:P) -
L'habit ne fait pas le moine...
-
Tu m'as fait rire. En effet j'ai essayé d'écrire cette série autrement, sachant que $0 \leq p \leq 1$ et en partant du fait que $\displaystyle{\sum kx^{k} = \frac{x}{(1-x)^2}}$ mais je n'arrive pas à tomber sur une formule générale pour obtenir $\displaystyle{\sum k^{N}x^{k}}$, à chaque fois il faut dériver, multiplier par $x$ puis dériver cette expression et ainsi de suite... Peut-on s'en sortir ?
-
Soit $P$ un polynôme. Saurais-tu trouver un polynôme $Q$ tel que $(1-x)\sum_{k=0}^\infty P(k) x^k = \sum_{k=0}^\infty Q(k) x^k$ pour $|x| < 1$ ?
-
Je ne saisis pas bien, le polynôme en $k$ défini par $(1-x)P(k)$ convient. Edit : oops dsl, je n'ai rien dit.
$P(k) - P(k-1)$ convient. -
Je tombe sur $q^{N+1}\sum_{k} k^{N}p^{k} = q^{N} (p + \sum_{k \geq 1} (k^{N} - (k-1)^{N}) p^{k}$. Pour la suite, je ne pense pas qu'écrire $(k^{N} - (k-1)^{N})$ comme $\sum_{i=0}^{N-1} k^{i}(k-1)^{N-1-i}$ m'aidera, je ne vois vraiment pas :-(
-
Un petit coup de pouce en plus serait le bienvenu.
-
Dans un cours raisonnable, tu dois trouver le résultat suivant: si $Y$ est une variable aléatoire discrète prenant ses valeurs dans $D$ fini ou dénombrable et $Z$ une autre variable aléatoire,on a la formule:
$\forall k\in D\quad E[Z|Y=k]=\frac{E(Z1_{y=k})}{P(Y=k)}$.
La grosse difficulté, avec l'espérance conditionnelle, c'est de comprendre de quoi on parle. Et ça peut prendre un peu de temps. -
Merci pour cette réponse aléa, je connais cette formule. Mais bous avions avancé un peu plus sur le sujet avec Simeon et je coince sur autre chose ou alors je ne fais le lien avec ta réponse ce qui est probable.
-
Je ne sais pas, mais sauf si j'ai mal lu, tu n'as pas écrit la réponse à cette question intermédiaire, donc il m'est difficile de deviner où est ton problème.
-
L'espérance conditionnelle $\displaystyle{ E(\prod_{i=1}^{N} X_{i} | Y=k) = \frac{E(\prod_{i=1}^{N} X_{i} \mathbb{1}_{\{Y=k\}}) }{qp^{k}} }$
avec $\displaystyle{ E(\prod_{i=1}^{N} X_{i} \mathbb{1}_{\{Y=k\}}) = E(\prod_{i=1}^{N} Z_{i}) = \prod_{i=1}^{N} E(Z_{i}) = (kq)^{N}}$ où les $Z_{i}$ sont i.i.d. $Bin(k, q)$
Et donc $\displaystyle{ E(\prod_{i=1}^{N} X_{i} | Y=k) = \frac{(kq)^{N}}{qp^{k}} }$
Hmm, ca ne colle pas avec ce que je trouve avant. Il y a donc du faux quelque part :-S -
Non, ta première proposition était la bonne. Il est possible que je t'aie induit en erreur.
C'est toujours un peu délicat ces énoncés qui définissent des variables par leurs lois conditionnelles (de préférence à des étudiants qui ne savent pas ce qu'est une loi conditionnelle !).
Il faut retenir que si on dit que, conditionnellement à $Y$, $X$ suit la loi $\mu_Y$, alors cela entraîne que, pour $\phi$ telle que $\phi(X)$ est intégrable, on a
$E[\phi(X)|Y]=\Psi(y)$, avec $\Psi(y)=\int \phi(x)\ d\mu_y(x)$.
Ici, $\mu(y)=\mathcal{B}(y,p)^{\otimes N}$ et $\phi(x_1,\dots,x_N)=x_1x_2\dots x_N$.
Par contre je ne comprends pas bien pourquoi Siméon juge impensable que $Y$ soit une géométrique qui commence à $1$. -
Pour la loi géométrique, je n'ai pas compris non plus, pour moi au nu de l'énoncé, il était plus clair d'inclure le succès dans le compte. Mais du coup je suis toujours bloqué sur le reste, comment arriver à montrer que l'espérance finale est un polynôme de degré fini ? Je peux répondre à la question du problème sans cela vu que je n'ai qu'à connaitre le coefficient d'un certain degré mais vu que j'ai tenté de le faire, autant finir surtout que cela doit être simple mais au vu de la série que j'obtiens, je ne vois aucune simplification, aucune 'télescopie' apparaître, tout porte à croire que j'ai fait une erreur quelque part qui ne me saute pas aux yeux
-
Je suis un peu étonné aussi, car j'ai l'impression que ça ne marche pas si bien que ça.
Quand on cherche à calculer $\sum P(n)x^n$ avec $P$ polynôme, l'idée est de décomposer $P$ dans la base des factorielles descendantes (par exemple avec les nombres de Stirling de 2e espèce), et après on sait calculer, mais il n'y a pas de raison que ce soit beau.
Je suis un peu méfiant pour l'énoncé, car classiquement dans ce genre d'exos, l'aléa porte plutôt sur le nombre de termes du produit. -
@aléa : il t'a peut-être échappé que Cretinus cherche à résoudre le problème 602 du Project Euler. Il n'y a pas de raison pour que le résultat soit beau dans ce genre de problème, et je ne pense pas me tromper avec cette loi géométrique « décalée de 1 ».
@Cretinus : pour montrer que la fonction $p \mapsto (1-p)^{N+1}\sum_{k=0}^\infty k^N p^k$ est polynomiale, il suffit d'appliquer $N$ fois l'indication que je t'ai donnée. -
Je n'ai clairement pas votre don de clairvoyance. Je me rends bien compte que l'on peut diminuer la puissance de $k^{N}$ dans le terme $k^{N} - (k-1)^{N}$ et donc certainement finir avec une série $\sum_{k} kx^{k}$ dont on connait la somme. Mais, je me vois mal appliquer cela itérativement avec les coefficients binomiaux qui vont me rester sur les bras. Ca se simplifie vraiment facilement ? ::o
-
Bonjour Cretinus,
Soit $x$ un réel tel que $|x| < 1$. Tu as vu que pour tout polynôme $P$, en notant $\Delta P$ le polynôme $P(X) - P(X-1)$, on obtient :
$$
(1-x)\sum_{k=0}^\infty P(k)x^k = P(0) + \sum_{k=0}^\infty (\Delta P)(k) x^k.
$$
On en déduit par récurrence que :
$$
(1-x)^{N+1} \sum_{k=0}^\infty P(k)x^k = \sum_{i=0}^N(\Delta^i P)(0) (1-x)^{N-i} + \sum_{k=0}^\infty (\Delta^{N+1}P)(k)x^k.
$$
Puisque l'opérateur $\Delta$ fait décroître strictement le degré, le polynôme $\Delta^{N+1}P$ est nul si $P$ est de degré $N$, en particulier si $P = X^N$. Il reste donc seulement un terme polynomial (de degré $\leq N-1$ si $P(0)=0$) dans le membre de droite.
Il te reste à calculer explicitement les coefficients de ce polynôme, avec une formule simple (si elle existe) ou un programme informatique. Je n'y ai pas réfléchi. -
Ok, c'est malin d'avoir introduit l'opérateur $\Delta$, $(\Delta P)^{i} = (\Delta P)^{i-1} (X) - (\Delta P^{i-1}) (X-1)$.
Je suis d'accord, le degré décroît et du coup les termes de la série sont tous nuls dès que l'indice $k \geq N+1$
Merci beaucoup Simeon pour ton aide. Je ne pense pas qu'il existe de formule simple :-D mais avec un peu de code, ça devrait être rapide.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 8 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
Qui est en ligne 20
+13 Invités