Projection mesurable

Merci, bel exemple @Said!
@Poirot , ok $\mathcal{P}(\mathbb{R})=\mathcal{L}(\mathbb{R})$ +ZF est consistante (tu).
Sinon , pour la mesurabilité, je constate que dans beaucoup de cours et de livres , on donne un exemple de non borélien en utilisant un ensemble de Vitali. Est-ce juste de la paresse qui consiste à utiliser la contraposée de $\mathcal{B}(\mathbb{R}) \subset \mathcal{L}(\mathbb{R})$? Je pose cette question parce que je trouve que c'est quand même dommage d'utiliser l'axiome du choix pour montrer qu'il existe des non boréliens, c'est trompeur. On serait tenter de conclure la même chose que @Poirot en version borélienne , c'est-à-dire affirmer que $\mathcal{P}(\mathbb{R})=\mathcal{B}(\mathbb{R})$ +ZF est consistante, ce qui est faux à mon avis.
Pour m'en convaincre , j'ai cherché et trouvé sur Wikipédia un non borélien construit et donc n'utilisant pas l'axiome du choix , c'est l'ensemble de Nicolaï Luzin , ici. Donc les cours (beaucoup!!) utilisant l'axiome du choix pour montrer qu'il existe des non boréliens ne trompent-ils pas le lecteur?

"Pas besoin d'axiome du choix pour montrer qu'il existe des non boréliens"
N'est-ce pas , en substance, ce que je dis?