convergence

Si ça peut t'aider ... mais à condition de ne pas oublier que $\Omega$ peut être diablement compliqué.

Cordialement.

L'image ci-dessous est vraiment une très bonne illustration de la convergence en probabilité : https://stats.stackexchange.com/questions/2230/convergence-in-probability-vs-almost-sure-convergence



Ça veut dire quoi ? C'est une illustration de la convergence en probabilité (vers une constante pour simplifier). $\omega$ c'est un tirage de ta suite $X_n$, c'est-à-dire que $\omega$ représente dans ce dessin une courbe d'une couleur.

La convergence presque sûre c'est pour presque toutes les courbes, disons toutes pour simplifier, quel que soit $\epsilon$ ($\epsilon$ c'est la marge en pointillé), la courbe finira dans cette marge, c'est-à-dire la courbe reste dans cette marge pour tout $n$ assez grand. Ça veut dire exactement que la courbe converge vers la droite représentant la limite constante de notre suite, c'est la convergence simple, toutes les courbes s'écrasent vers cette droite (cette droite est dans l'illustration celle d'ordonnée nulle).

La convergence en probabilité c'est quel que soit la marge donné $\epsilon$, la proportion de courbes dans cette marge à un temps $n$ va tendre vers $1$ lorsque $n$ tend vers l'infini. Mais si je prends une courbe en particulier elle n'a aucune raison de rester dans cette marge pour tout $n$ assez grand.

On a même des exemples de convergence en probabilité où pour aucun $\omega$ on a la convergence simple. C'est le cas des bosses glissantes, exemple classique. Dans ce cas, pour une courbe donnée elle va toujours sortir de la marge à un moment, même pour $n$ aussi grand que tu veux, mais pour $n$ grand il y a de plus en plus de courbes qui seront dans la marge. Donc même si toutes les courbes sortent de la marge pour certains $n$ aussi grand que tu veux, ce ne sont pas les mêmes entiers $n$ en même temps car la proportion de courbes restant dans la marge doit tendre vers $1$.

Je te suggère de lire le lien que j'ai fourni pour saisir la différence.

Tout à fait d'accord avec skyffer3.
Pour compléter, j'ajoute que dans un contexte probabiliste, les phénomènes de bosses glissantes se réalisent souvent avec des variables indépendantes.
Ainsi, un exemple simple de suite convergeant en probabilité vers $0$ mais pas en presque sûrement, c'est de prendre des $X_n$ indépendantes avec $X_n$ qui suit la loi de Bernoulli de paramètre $1/n$.

En même temps, la différence entre convergence presque sûre et convergence en proba est aussi une question d'intensité.
Par exemple, dans l'exemple précédent, si on remplace $1/n$ par $1/n^2$, la nature de la suite ne paraît pas très différente de la première et pourtant il y a cette fois convergence presque sûre.

$\omega$ c'est une trajectoire aléatoire. Tu peux imaginer N variables de Bernouilli $X_{i}$ pour représenter le jet de N pièces. A chaque variable $X_{i}$ tu peux associer un évènement aléatoire $w_{i}$. Et pour le jet des N dés, tu peux associer un évènement $w = (w_{1}, w_{2}, ..., w_{N})$
Une expérience pour $N=5$ pourrait te donner le résultat : $\omega=(P,P,P,F,F)$, une autre FFFFF et une autre FPFPF. Au final, sur cet exemple, cela correspond à un évènement parmi l'univers des possibles (résultats que l'on pourrait observer) qui dans mon exemple est de cardinal $|\Omega|=2^{5}$