processus borné dans $L^{\infty}$
Bonjour à tous,
J'ai une question concernant les processus bornés dans $L^{\infty}$.
Rappelons que : $(X_n)$ un processus borné dans $L^{p}$ <=> $sup_{n}\{ E[|X_n|^{p}] \}$ est fini. ($p$ appartenant à $[1;+\infty]$)
Rappelons que : $(X_n)$ un processus d'ordre $p$ <=> $E[|X_n|^{p}]$ est fini pour tout $n$. ($p$ appartenant à $[1;+\infty]$)
On conçoit assez bien que si $(X_n)$ un processus borné dans $L^{p}$ alors $(X_n)$ est d'ordre $p$, (et ce pour tout $p$ appartenant à $[1;+\infty ]$ )
Cependant, la réciproque n'est pas vraie (contre-ex : $P(X_n = n)=1/2$, et $P(X_0 = 0) = 1/2$, pour la norme $L^{p}$ avec $p$ appartenant à $[1 ; +\infty [$ ).
MAIS, si $p=+\infty$, a-t-on l'équivalence ? Mon contre-exemple marche t-il encore ? Je n'arrive pas en fait à bien saisir la norme $L^{\infty}$.
Rappelons que : la norme $L^{\infty}$ de $X_{n}$ est la norme tq : pour tout $n$, il existe $M>0$ tq $|X_n|<M$ (autrement dit ;pour tout n, le $sup_{\omega \in \Omega}\{ X_n(\omega) \}$ est fini )
Donc je peux prendre $M = n$ (qui dépend donc de $n$) . Donc dans ce cas le contre-exemple fonctionne toujours.
On a $||X_n||_{L^{\infty}} = n$, non ?
Merci !
J'ai une question concernant les processus bornés dans $L^{\infty}$.
Rappelons que : $(X_n)$ un processus borné dans $L^{p}$ <=> $sup_{n}\{ E[|X_n|^{p}] \}$ est fini. ($p$ appartenant à $[1;+\infty]$)
Rappelons que : $(X_n)$ un processus d'ordre $p$ <=> $E[|X_n|^{p}]$ est fini pour tout $n$. ($p$ appartenant à $[1;+\infty]$)
On conçoit assez bien que si $(X_n)$ un processus borné dans $L^{p}$ alors $(X_n)$ est d'ordre $p$, (et ce pour tout $p$ appartenant à $[1;+\infty ]$ )
Cependant, la réciproque n'est pas vraie (contre-ex : $P(X_n = n)=1/2$, et $P(X_0 = 0) = 1/2$, pour la norme $L^{p}$ avec $p$ appartenant à $[1 ; +\infty [$ ).
MAIS, si $p=+\infty$, a-t-on l'équivalence ? Mon contre-exemple marche t-il encore ? Je n'arrive pas en fait à bien saisir la norme $L^{\infty}$.
Rappelons que : la norme $L^{\infty}$ de $X_{n}$ est la norme tq : pour tout $n$, il existe $M>0$ tq $|X_n|<M$ (autrement dit ;pour tout n, le $sup_{\omega \in \Omega}\{ X_n(\omega) \}$ est fini )
Donc je peux prendre $M = n$ (qui dépend donc de $n$) . Donc dans ce cas le contre-exemple fonctionne toujours.
On a $||X_n||_{L^{\infty}} = n$, non ?
Merci !
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Réponses
Tu as, d'une part, pour tout $n,$ $$E\left(\sup \left|X_n\right|\right)=E(n)=n,$$ qui est donc fini pour toute valeur de $n~!$
Et d'autre part, $$\sup_n E\left(\sup\left|X_n\right|\right)=\sup_n E(n)=\sup_n n=+\infty.$$