Sous-variété négligeable
Bonjour à tous,
Dans le livre Introduction aux variétés différentielles de Jacques Lafontaine, quelque chose m'échappe sur un point (élémentaire ?) de théorie de la mesure. Avant d'énoncer une version du théorème de Sard, Lafontaine prouve que toute sous-variété $M \in \mathbb{R}^{n}$ de dimension $p<n$ est de mesure nulle dans $\mathbb{R}^{n}$. Résultat très intuitif, mais un point me chiffonne dans sa démonstration :
"Il suffit de montrer que pour tout $x \in M$, il existe $U$ ouvert de $\mathbb{R}^{n}$ contenant $x$ tel que $\mu (U \cap M) = 0$ (avec $\mu$ la mesure de Lebesgue)."
Je ne parviens pas à montrer qu'un ensemble vérifiant cette propriété soit effectivement négligeable...
En raisonnant par l'absurde et en supposant que $\mu(M)>0$, on prend $x \in M$ et $U$ vérifiant la propriété précédente et on est ramené à montrer que $\mu (U \cap M) > 0$. Seulement je ne suis pas certain de l'argument pour dire cela : il faudrait que $U$ et $M$ ne se coupe pas seulement en $x$... Cela vient-il du fait que $M$ est localement fermée ? Ou que $U \cap M$ est un ouvert de $M$ ?
Peut-être que je fais fausse route, mais toutes mes autres tentatives se heurtaient à la non-dénombrabilité de tous ces ouverts car je ne parviens pas à en extraire une partie dénombrable (pour considérer l'union par exemple).
Quelqu'un aurait-il une idée pour me débloquer ?
Je vous remercie par avance pour votre aide !
Louis
Dans le livre Introduction aux variétés différentielles de Jacques Lafontaine, quelque chose m'échappe sur un point (élémentaire ?) de théorie de la mesure. Avant d'énoncer une version du théorème de Sard, Lafontaine prouve que toute sous-variété $M \in \mathbb{R}^{n}$ de dimension $p<n$ est de mesure nulle dans $\mathbb{R}^{n}$. Résultat très intuitif, mais un point me chiffonne dans sa démonstration :
"Il suffit de montrer que pour tout $x \in M$, il existe $U$ ouvert de $\mathbb{R}^{n}$ contenant $x$ tel que $\mu (U \cap M) = 0$ (avec $\mu$ la mesure de Lebesgue)."
Je ne parviens pas à montrer qu'un ensemble vérifiant cette propriété soit effectivement négligeable...
En raisonnant par l'absurde et en supposant que $\mu(M)>0$, on prend $x \in M$ et $U$ vérifiant la propriété précédente et on est ramené à montrer que $\mu (U \cap M) > 0$. Seulement je ne suis pas certain de l'argument pour dire cela : il faudrait que $U$ et $M$ ne se coupe pas seulement en $x$... Cela vient-il du fait que $M$ est localement fermée ? Ou que $U \cap M$ est un ouvert de $M$ ?
Peut-être que je fais fausse route, mais toutes mes autres tentatives se heurtaient à la non-dénombrabilité de tous ces ouverts car je ne parviens pas à en extraire une partie dénombrable (pour considérer l'union par exemple).
Quelqu'un aurait-il une idée pour me débloquer ?
Je vous remercie par avance pour votre aide !
Louis
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Réponses
$$\mathbb{R}^n=\cup_{r} U_r,\qquad(\star)$$ où $r$ parcourt l'ensemble des éléments de $\mathbb{R}^n$ dont toutes les coordonnées sont rationnelles - cet ensemble étant dense.
On aurait alors
$$\mu(M)=\mu\left(\left(\cup_r U_r\right)\cap M\right)=\mu\left(\cup_r\left(U_r\cap M\right)\right)\leq \sum_r \mu\left(U_r\cap M\right)=\sum_r 0=0.$$
Malheureusement, je ne sais pas prouver $(\star).$
@rebellin: Oui je pensais à cela justement lorsque j'évoquais la dénombrabilité. Mais je ne vois pas comment faire sauter le verrou non plus... (cf rq précédente)
Pour la réponse de rebellin je me suis emmêlé les pinceaux, on ne va pas s'en sortir comme ça. Ce que tu sais, c'est que pour tout $x \in M$, il existe $U$ ouvert de $\mathbb R^n$ tel que $x \in U$ et $\mu(U \cap M)=0$. Donc tu prends une partie dénombrable $D \subset M$ dense dans $M$. Pour chaque $x \in D$, tu considères un ouvert $U_x$ tel que blablabla. Tu devrais t'en sortir avec ça !
Mais cette idée d'utiliser une partie dénombrable et dense ne permet pas de conclure : la propriété $\mathbb{R}^n=\cup_r U_r,$ qui semble évidente intuitivement, n'a aucune raison d'être vraie : on prend par exemple $n=1.$ Pour chaque rationnel $r\in\mathbb{R},$ on définit $U_r$ comme étant le segment ouvert de centre $r$ de rayon $\frac{\left|\pi-r\right|}{2}.$ Alors $\cup_r U_r=\mathbb{R}-\left\{\pi\right\}.$
J'avais aussi pensé au théorème de classe monotone, mais je ne suis pas très convaincu...
Cependant tu as raison, mon raisonnement ne fonctionne pas car on n'a pas forcément $M = \bigcup_{x \in D} U_x$.
Néanmoins cela me fait penser qu'en utilisant la métrisabilité de $M$, peut-être que l'on peut aboutir à la contradiction $\mu(U \cap M) >0$
Soit $x\in M$ et $U$ un ouvert de $\mathbb{R}^{n}$ tel que $\mu(U\cap M)=0$. On a $U\cap M$ qui est un ouvert non vide (contient $x$) de $M$ pour la topolgie induite. Or, $M$ comme sous-variété de $\mathbb{R}^{n}$ est métrisable, il existe donc une boule ouverte de rayon non nul contenant $x$ inclus dans $U\cap M$. La mesure de cette boule est alors non-nulle et donc $\mu(U\cap M)>0$ : contradiction.
Seulement il y a deux choses pour lesquels j'ai un doute :
1 - La topologie induite sur $M$ par la topologie naturelle de $\mathbb{R}^{n}$ (qui est elle engendrée par une norme $N$) coïncide-t-elle avec la topologie induite par la norme $N$ sur $M$ ? Cela me semble vrai mais du coup il y a un autre problème :
2 - La boule peut-elle s'écrire $B(x,r)$ ? Car si ces deux topologies coïncident peut-être qu'on ne peut l'écrire en réalité que $B(x,r) \cap M$, et on retombe au point de départ, à savoir si $B(x,r)$ intersecte $M$ sur plus qu'un négligeable...
Si on a recouvert $M$ par des ouverts $U$ qui satisfont $\mu(U\cap M)=0$, c'est bien sûr aussi vérifié par les ouverts du recouvrement plus fin.
En tout cas, merci à tous pour votre aide !! Cela m'a été bien utile :-)