Petit exo posé à Ulm
Bonjour,
Un de mes élèves m'a posé une colle en ramenant l'exercice qui lui a été donné à l'oral d'Ulm (section PSI).
Le voici :
1) Soit $X$ et $X'$ deux variables aléatoires sur un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$. Soit $B\in\mathcal{A}$. Montrer que : $$|\mathbb{P}(X\in B )-\mathbb{P}(X'\in B )|\leq 2\mathbb{P}(X\neq X')$$
2) Soit $n$ un entier naturel non nul. Soit $(p_0,\dots,p_n) \in [0,1]^n$. On définit $n$ variables aléatoires mutuellement indépendantes, à valeurs dans $\N\times \N$, notées $Z_m=(Y_m, Y'_m)$ pour $m\in [1,n]$, par : $$\forall (i,j)\in \N^2, \forall m\in [1,n], \mathbb{P}\left((Y_m,Y'_m)=(i,j)\right)=\left\{
\begin{array}{lcl}
1-p_m & \text{si} & i=j=0 \\
e^{-p_m}-(1-p_m) & \text{si} & i=1 \text{ et } j=0 \\
0 & \text{si} & i=0 \text{ et } j>0 \\
e^{-p_m} \frac{p_m^j}{j!} & \text{si} & i=1 \text{ et } j>0 \\
a & \text{si} & i>1
\end{array}\right.$$
(a) Déterminer la valeur de $a$.
(b) Déterminer la loi de $Y_m$ pour $m\in[1,n]$.
(c) Déterminer la loi de $Y'_m$ pour $m\in[1,n]$.
(d) Pour $m\in[1,n]$, les variables $Y_m$ et $Y'_m$ sont-elles indépendantes ?
(e) Montrer que : $$\mathbb{P}\left(\sum_{m=1}^{n}Y_m \neq \sum_{m=1}^{n} Y'_m\right)\leq\sum_{m=1}^{n} p_m^2$$
3) Soit $Z$ suivant une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ et $Z'$ suivant une loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ définies sur l'espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$.
Montrer que $\forall B\in \mathcal{A}, |\mathbb{P}(Z\in B )-\mathbb{P}(Z'\in B )|\leq 2\lambda p$.
J'ai su faire presque sans problème les 2 premières questions (même si la question de l'indépendance est un peu vache à traiter entièrement, et la (e) m'a demandé quelques efforts tout de même).
En revanche, je ne vois pas comment faire la dernière question.
J'ai pensé à utiliser les 2 précédentes... mais ça ne marcherait que si l'on avait $\lambda=np$ (ou bien sûr dans le cas trivial où $2\lambda p >1$).
Encore une fois, si vous avez des idées, je suis preneur.
D'avance, merci.
Un de mes élèves m'a posé une colle en ramenant l'exercice qui lui a été donné à l'oral d'Ulm (section PSI).
Le voici :
1) Soit $X$ et $X'$ deux variables aléatoires sur un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$. Soit $B\in\mathcal{A}$. Montrer que : $$|\mathbb{P}(X\in B )-\mathbb{P}(X'\in B )|\leq 2\mathbb{P}(X\neq X')$$
2) Soit $n$ un entier naturel non nul. Soit $(p_0,\dots,p_n) \in [0,1]^n$. On définit $n$ variables aléatoires mutuellement indépendantes, à valeurs dans $\N\times \N$, notées $Z_m=(Y_m, Y'_m)$ pour $m\in [1,n]$, par : $$\forall (i,j)\in \N^2, \forall m\in [1,n], \mathbb{P}\left((Y_m,Y'_m)=(i,j)\right)=\left\{
\begin{array}{lcl}
1-p_m & \text{si} & i=j=0 \\
e^{-p_m}-(1-p_m) & \text{si} & i=1 \text{ et } j=0 \\
0 & \text{si} & i=0 \text{ et } j>0 \\
e^{-p_m} \frac{p_m^j}{j!} & \text{si} & i=1 \text{ et } j>0 \\
a & \text{si} & i>1
\end{array}\right.$$
(a) Déterminer la valeur de $a$.
(b) Déterminer la loi de $Y_m$ pour $m\in[1,n]$.
(c) Déterminer la loi de $Y'_m$ pour $m\in[1,n]$.
(d) Pour $m\in[1,n]$, les variables $Y_m$ et $Y'_m$ sont-elles indépendantes ?
(e) Montrer que : $$\mathbb{P}\left(\sum_{m=1}^{n}Y_m \neq \sum_{m=1}^{n} Y'_m\right)\leq\sum_{m=1}^{n} p_m^2$$
3) Soit $Z$ suivant une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ et $Z'$ suivant une loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ définies sur l'espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$.
Montrer que $\forall B\in \mathcal{A}, |\mathbb{P}(Z\in B )-\mathbb{P}(Z'\in B )|\leq 2\lambda p$.
J'ai su faire presque sans problème les 2 premières questions (même si la question de l'indépendance est un peu vache à traiter entièrement, et la (e) m'a demandé quelques efforts tout de même).
En revanche, je ne vois pas comment faire la dernière question.
J'ai pensé à utiliser les 2 précédentes... mais ça ne marcherait que si l'on avait $\lambda=np$ (ou bien sûr dans le cas trivial où $2\lambda p >1$).
Encore une fois, si vous avez des idées, je suis preneur.
D'avance, merci.
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Réponses
Tu as raison, il manque l'hypothèse $\lambda =np$ pour avoir une telle simplification.
La prochaine fois autant mettre un facteur $\pi/e$ quitte à pièger B-)-
J'en profite pour dire qu'effectivement l'appendice 2 repéré par P a l'air de tourner autour de cette question, enfin j'ai pas regardé le détail.
On aurait pu écrire $X^{-1}(B)$ mais ce n'est pas l'usage en probas, je ne sais pas pourquoi ...
je suis comme Chaurien, je ne vois pas ce que signifie $X \in B$, sachant que je connais le formalisme classique rappelé par skyffer.
S
S
Bon, après réflexion, j'ai majoré à la grosse louche... mais quand on aime, on ne compte pas
@Lucas : Ça me rassure : je ne suis pas complètement demeuré alors !
Je suis naturellement tombé sur le facteur 1, et pourtant je suis rarement fin dans les inégalités :-D
\begin{eqnarray*}|\Pr(X\in -\Pr(Y\in |&=&|\Pr((X,Y)\in B\times \R)-\Pr((X,Y)\in \R\times |\\&\leq&\Pr((X,Y)\in( B^c\times \cup (B\times B^c))\leq\Pr(X\neq Y)\end{eqnarray*}:
Pour info, je partitionne l'événement $X\in B$ selon que $X=X'$ ou $X\neq X'$.
$$\begin{array}{rcl}
|\mathbb{P}(X\in B )-\mathbb{P}(X'\in B )|&=&|\mathbb{P}((X\in B )\cap (X\neq X'))-\mathbb{P}((X'\in B )\cap (X\neq X'))| \\
&\leq & \mathbb{P}((X\in B )\cap (X\neq X'))+\mathbb{P}((X'\in B )\cap (X\neq X')) \\
& \leq & 2 \mathbb{P}(X\neq X')
\end{array}$$
Pas franchement glorieux
Pour ce qui est de la restitution de l'énoncé, il est probable que mon élève ait oublié certains détails (comme le fait que les variables aléatoires considérées dans la question 1 soient à valeurs dans $\N$, par exemple) mais je pense qu'il n'a pas inventé la présence de $B$ dans $\mathcal{A}$... et effectivement, l'énoncé est clairement fautif de ce point de vue-là.
Je pense que le concepteur a voulu à la fois rester rigoureux et malgré tout dans le cadre restreint des exigences de la prépa... et qu'il a raté ce passage-là. En formalisant moins et en parlant d'événements, on sauve les meubles.