Petit exo posé à Ulm

Bonjour,
Un de mes élèves m'a posé une colle en ramenant l'exercice qui lui a été donné à l'oral d'Ulm (section PSI).
Le voici :
1) Soit $X$ et $X'$ deux variables aléatoires sur un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$. Soit $B\in\mathcal{A}$. Montrer que : $$|\mathbb{P}(X\in B )-\mathbb{P}(X'\in B )|\leq 2\mathbb{P}(X\neq X')$$

2) Soit $n$ un entier naturel non nul. Soit $(p_0,\dots,p_n) \in [0,1]^n$. On définit $n$ variables aléatoires mutuellement indépendantes, à valeurs dans $\N\times \N$, notées $Z_m=(Y_m, Y'_m)$ pour $m\in [1,n]$, par : $$\forall (i,j)\in \N^2, \forall m\in [1,n], \mathbb{P}\left((Y_m,Y'_m)=(i,j)\right)=\left\{
\begin{array}{lcl}
1-p_m & \text{si} & i=j=0 \\
e^{-p_m}-(1-p_m) & \text{si} & i=1 \text{ et } j=0 \\
0 & \text{si} & i=0 \text{ et } j>0 \\
e^{-p_m} \frac{p_m^j}{j!} & \text{si} & i=1 \text{ et } j>0 \\
a & \text{si} & i>1
\end{array}\right.$$
(a) Déterminer la valeur de $a$.
(b) Déterminer la loi de $Y_m$ pour $m\in[1,n]$.
(c) Déterminer la loi de $Y'_m$ pour $m\in[1,n]$.
(d) Pour $m\in[1,n]$, les variables $Y_m$ et $Y'_m$ sont-elles indépendantes ?
(e) Montrer que : $$\mathbb{P}\left(\sum_{m=1}^{n}Y_m \neq \sum_{m=1}^{n} Y'_m\right)\leq\sum_{m=1}^{n} p_m^2$$

3) Soit $Z$ suivant une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ et $Z'$ suivant une loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ définies sur l'espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$.
Montrer que $\forall B\in \mathcal{A}, |\mathbb{P}(Z\in B )-\mathbb{P}(Z'\in B )|\leq 2\lambda p$.
J'ai su faire presque sans problème les 2 premières questions (même si la question de l'indépendance est un peu vache à traiter entièrement, et la (e) m'a demandé quelques efforts tout de même).
En revanche, je ne vois pas comment faire la dernière question.

J'ai pensé à utiliser les 2 précédentes... mais ça ne marcherait que si l'on avait $\lambda=np$ (ou bien sûr dans le cas trivial où $2\lambda p >1$).

Encore une fois, si vous avez des idées, je suis preneur.
D'avance, merci.