Petit exo posé à Ulm
Bonjour,
Un de mes élèves m'a posé une colle en ramenant l'exercice qui lui a été donné à l'oral d'Ulm (section PSI).
Le voici :
1) Soit $X$ et $X'$ deux variables aléatoires sur un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$. Soit $B\in\mathcal{A}$. Montrer que : $$|\mathbb{P}(X\in B )-\mathbb{P}(X'\in B )|\leq 2\mathbb{P}(X\neq X')$$
2) Soit $n$ un entier naturel non nul. Soit $(p_0,\dots,p_n) \in [0,1]^n$. On définit $n$ variables aléatoires mutuellement indépendantes, à valeurs dans $\N\times \N$, notées $Z_m=(Y_m, Y'_m)$ pour $m\in [1,n]$, par : $$\forall (i,j)\in \N^2, \forall m\in [1,n], \mathbb{P}\left((Y_m,Y'_m)=(i,j)\right)=\left\{
\begin{array}{lcl}
1-p_m & \text{si} & i=j=0 \\
e^{-p_m}-(1-p_m) & \text{si} & i=1 \text{ et } j=0 \\
0 & \text{si} & i=0 \text{ et } j>0 \\
e^{-p_m} \frac{p_m^j}{j!} & \text{si} & i=1 \text{ et } j>0 \\
a & \text{si} & i>1
\end{array}\right.$$
(a) Déterminer la valeur de $a$.
(b) Déterminer la loi de $Y_m$ pour $m\in[1,n]$.
(c) Déterminer la loi de $Y'_m$ pour $m\in[1,n]$.
(d) Pour $m\in[1,n]$, les variables $Y_m$ et $Y'_m$ sont-elles indépendantes ?
(e) Montrer que : $$\mathbb{P}\left(\sum_{m=1}^{n}Y_m \neq \sum_{m=1}^{n} Y'_m\right)\leq\sum_{m=1}^{n} p_m^2$$
3) Soit $Z$ suivant une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ et $Z'$ suivant une loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ définies sur l'espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$.
Montrer que $\forall B\in \mathcal{A}, |\mathbb{P}(Z\in B )-\mathbb{P}(Z'\in B )|\leq 2\lambda p$.
J'ai su faire presque sans problème les 2 premières questions (même si la question de l'indépendance est un peu vache à traiter entièrement, et la (e) m'a demandé quelques efforts tout de même).
En revanche, je ne vois pas comment faire la dernière question.
J'ai pensé à utiliser les 2 précédentes... mais ça ne marcherait que si l'on avait $\lambda=np$ (ou bien sûr dans le cas trivial où $2\lambda p >1$).
Encore une fois, si vous avez des idées, je suis preneur.
D'avance, merci.
Un de mes élèves m'a posé une colle en ramenant l'exercice qui lui a été donné à l'oral d'Ulm (section PSI).
Le voici :
1) Soit $X$ et $X'$ deux variables aléatoires sur un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$. Soit $B\in\mathcal{A}$. Montrer que : $$|\mathbb{P}(X\in B )-\mathbb{P}(X'\in B )|\leq 2\mathbb{P}(X\neq X')$$
2) Soit $n$ un entier naturel non nul. Soit $(p_0,\dots,p_n) \in [0,1]^n$. On définit $n$ variables aléatoires mutuellement indépendantes, à valeurs dans $\N\times \N$, notées $Z_m=(Y_m, Y'_m)$ pour $m\in [1,n]$, par : $$\forall (i,j)\in \N^2, \forall m\in [1,n], \mathbb{P}\left((Y_m,Y'_m)=(i,j)\right)=\left\{
\begin{array}{lcl}
1-p_m & \text{si} & i=j=0 \\
e^{-p_m}-(1-p_m) & \text{si} & i=1 \text{ et } j=0 \\
0 & \text{si} & i=0 \text{ et } j>0 \\
e^{-p_m} \frac{p_m^j}{j!} & \text{si} & i=1 \text{ et } j>0 \\
a & \text{si} & i>1
\end{array}\right.$$
(a) Déterminer la valeur de $a$.
(b) Déterminer la loi de $Y_m$ pour $m\in[1,n]$.
(c) Déterminer la loi de $Y'_m$ pour $m\in[1,n]$.
(d) Pour $m\in[1,n]$, les variables $Y_m$ et $Y'_m$ sont-elles indépendantes ?
(e) Montrer que : $$\mathbb{P}\left(\sum_{m=1}^{n}Y_m \neq \sum_{m=1}^{n} Y'_m\right)\leq\sum_{m=1}^{n} p_m^2$$
3) Soit $Z$ suivant une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ et $Z'$ suivant une loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ définies sur l'espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$.
Montrer que $\forall B\in \mathcal{A}, |\mathbb{P}(Z\in B )-\mathbb{P}(Z'\in B )|\leq 2\lambda p$.
J'ai su faire presque sans problème les 2 premières questions (même si la question de l'indépendance est un peu vache à traiter entièrement, et la (e) m'a demandé quelques efforts tout de même).
En revanche, je ne vois pas comment faire la dernière question.
J'ai pensé à utiliser les 2 précédentes... mais ça ne marcherait que si l'on avait $\lambda=np$ (ou bien sûr dans le cas trivial où $2\lambda p >1$).
Encore une fois, si vous avez des idées, je suis preneur.
D'avance, merci.
Réponses
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Bonjour Bisam,
Tu as raison, il manque l'hypothèse $\lambda =np$ pour avoir une telle simplification. -
Voir appendice 2 du cours de proba du forum.
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Désolé de m'incruster, mais par rapport à la première question, on n'a pas plutôt $|\mathbb{P}(X\in -\mathbb{P}(X'\in |\leq \mathbb{P}(X\neq X')$ ?
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Yes.
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J'attendais le premier malin qui allait me sortir ça :-D Mais si t'arrives à démontrer ça sans démontrer la version avec un facteur 1 ce serait pas mal 8-)
La prochaine fois autant mettre un facteur $\pi/e$ quitte à pièger B-)-
J'en profite pour dire qu'effectivement l'appendice 2 repéré par P a l'air de tourner autour de cette question, enfin j'ai pas regardé le détail. -
Je ne comprends pas ce que signifie $X \in B$.
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C'est le formalisme classique des probas, $X\in B=\{\omega \in \Omega \mid X(\omega)\in B\}$, où bien sûr $\Omega$ est l'espace probabilisé où sont définies nos variables.
On aurait pu écrire $X^{-1}(B)$ mais ce n'est pas l'usage en probas, je ne sais pas pourquoi ... -
si je prends $\Omega=\{P;F\}$, probabilité uniforme, tribu les parties de $\Omega$ et je définis $X(P)=1$, et $X(F)=-1$.
je suis comme Chaurien, je ne vois pas ce que signifie $X \in B$, sachant que je connais le formalisme classique rappelé par skyffer.
S -
Disons que $B$ est une partie de N ...
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avec mon exemple et l'énoncé de bisam, on aurait $B \in \mathcal{P}(\{P;F\})$, non ?
S -
Non $B$ c'est un ensemble de la tribu de l'espace d'état de la variable, c'est-à-dire une partie de l'espace d'arrivée.
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Je confirme ce que dit skyffer et il n'y a strictement aucune ambiguïté! (Que l'ensemble soit dans la tribu ou pas l'abréviation est "officielle" en probas. )Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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@skyffer3 : Pour ce qui est de la première question, je l'ai démontrée directement avec le facteur 2... sans me douter jusqu'à reprendre ma démonstration il y a 5 minutes que l'on pouvait se contenter du facteur 1.
Bon, après réflexion, j'ai majoré à la grosse louche... mais quand on aime, on ne compte pas
@Lucas : Ça me rassure : je ne suis pas complètement demeuré alors ! -
Oui c'est la notation usuelle en proba, ce qui permet d'écrire des choses qu'on peut lire directement "probabilité que $X$ vaille tant" dans le cas d'une variable discrète qui compte quelque chose par exemple.
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L'énoncé est fautif; $B$ n'a aucune raison d'être dans $\mathcal{A}$. On peut penser que c'est un borélien de R, ou plus vraisemblablement, vu le programme de MP, une partie de $N$.
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Bien vu, je n'avais pas fait gaffe à cette erreur qui a pu perturbé certains intervenants du coup.
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Ceci dit c'est assez astucieux pour se débarrasser du 2, donc je comprends qu'on garde le 2 dans l'énoncé.
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Sans rire je ne vois vraiment pas comment vous le démontrez avec un facteur 2 (sans passer par le facteur 1, n'est-ce pas Poirot 8-)).
Je suis naturellement tombé sur le facteur 1, et pourtant je suis rarement fin dans les inégalités :-D -
Avec un dessin ce n'est pas dur:
\begin{eqnarray*}|\Pr(X\in -\Pr(Y\in |&=&|\Pr((X,Y)\in B\times \R)-\Pr((X,Y)\in \R\times |\\&\leq&\Pr((X,Y)\in( B^c\times \cup (B\times B^c))\leq\Pr(X\neq Y)\end{eqnarray*}: -
Un probabiliste dira $|1_B(X)-1_B(X')|\le 1_{X\ne X'}$ et prendra l'espérance ...
-
Non mais le facteur 1 je l'ai (de manière légèrement moins élégante qu'aléa mais ça tient en une ligne aussi), c'est sur le facteur 2 que je m'interrogeais :-D
Pour info, je partitionne l'événement $X\in B$ selon que $X=X'$ ou $X\neq X'$. -
.
-
Voici ce que j'avais grossièrement écrit pour obtenir le fameux 2 :
$$\begin{array}{rcl}
|\mathbb{P}(X\in B )-\mathbb{P}(X'\in B )|&=&|\mathbb{P}((X\in B )\cap (X\neq X'))-\mathbb{P}((X'\in B )\cap (X\neq X'))| \\
&\leq & \mathbb{P}((X\in B )\cap (X\neq X'))+\mathbb{P}((X'\in B )\cap (X\neq X')) \\
& \leq & 2 \mathbb{P}(X\neq X')
\end{array}$$
Pas franchement glorieux
Pour ce qui est de la restitution de l'énoncé, il est probable que mon élève ait oublié certains détails (comme le fait que les variables aléatoires considérées dans la question 1 soient à valeurs dans $\N$, par exemple) mais je pense qu'il n'a pas inventé la présence de $B$ dans $\mathcal{A}$... et effectivement, l'énoncé est clairement fautif de ce point de vue-là.
Je pense que le concepteur a voulu à la fois rester rigoureux et malgré tout dans le cadre restreint des exigences de la prépa... et qu'il a raté ce passage-là. En formalisant moins et en parlant d'événements, on sauve les meubles.
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