cardinal d'un ensemble

aidemath · September 2017

Bonjour, je n'ai pas compris pourquoi le cardinal est 666 (voir fichier joint) 67472

aidemath · September 2017

bonjour je n ai pas compris le calcul du cardinal 67482

remark · September 2017

.

Math Coss · September 2017

Je paraphrase la démonstration avec des nombres plus petits pour pouvoir faire un dessin.
\[F=\bigl\{(x,y)\in\{0,1,2,3\}^2,\ x<y\bigr\}.\]

Les éléments de $F$ sont les points à coordonnées entières, comprises entre $0$ et $3$, dont l'abscisse est strictement inférieure à l'ordonnée. Ce sont les points rouges sur le dessin (en ajoutant les points en bleu, on a tous les éléments de $\{0,1,2,3\}^2$).
Un autre façon de décrire $F$ est $\displaystyle F=\bigcup_{y=1}^3\bigl\{(x,y)\in\Z,\ 0\le x\le y-1\bigr\}$.
On regroupe ensemble les points de $F$ qui ont la même ordonnée. Les différents ensembles $F_y=\bigl\{(x,y)\in\Z,\ 0\le x\le y-1\bigr\}$ sont représentés par des « patates » sur le dessin.
Comme les ordonnées sont strictement supérieures aux abscisses et que la plus petite abscisse possible est $0$, la plus petite ordonnée possible est $0$ et la plus grande est $3$ : c'est ce qui explique que les indices $y$ sur la réunion vont de $1$ à $3$.
Pour tout entier $y$ tel que $1\le y\le3$, l'ensemble $F_y=\bigl\{(x,y)\in\Z,\ 0\le x\le y-1\bigr\}$ contient $y$ éléments.
En effet, il y a $y-1$ entiers entre $0$ et $y-1$ qui sont $0$, $1$, $2$,... $y-1$.
Le cardinal de $F$ est $6$.
En effet, $\sum_{y=1}^3y=1+2+3=6$.

Math Coss · September 2017

Ah ! Ça incite à répondre aux inconnu.e.s, tiens !

Réponses