Espérance conditionnelle

Ben ... si Y est indépendante de G, son espérance aussi.

Cordialement.

Bah quand $Y$ est $G$ mesurable, toute l'info de $Y$ est disponible en passant dans $G$, donc la meilleure estimation de $Y$ dans $G$ c'est $Y$ elle-même, l'espérance serait une bien moins bonne estimation.

Tu poses autant de questions que tu veux, y'a pas de quota ici :-D

C'est correct, sauf que ... c'est pas un raisonnement ! C'est juste une vague intuition personnelle, ça n'a rien d'une preuve.

L'intuition en probas, c'est pas facile ;-)

On va considérer un autre espace mesurable $(T,\mathcal A)$
(NB: en général les gens on tendance à préférer la majuscule $\Omega$ pour noter l'espace ambiant. En latex on a \omega -> $\omega$ et \Omega ->$\Omega $. D'ailleurs c'est ce que je vais faire dans le reste du post sinon je vais m'embrouiller :-D).

1°) Soit d'abord $X:\Omega \to T$ mesurable quelconque. $\sigma(X)$ désigne la plus petite tribu de $\Omega$ pour laquelle $X$ est mesurable ($T$ étant muni de sa tribu $\mathcal A$)Alors une application $U:\Omega \to \R$ est $\sigma(X)$ mesurable si et seulement si il existe $f:T\to \R$ mesurable telle que $f \circ X=U$. C'est ce résultat qui explique l'intuition derrière l'expression "fonction $\sigma(X)$-mesurable": une telle chose est tout simplement une grandeur qui "s'exprime" en fonction de $X$.

Preuve:
(i) Si $U$ ne prend qu'un nombre fini de valeurs, $\{a_1,...,a_n\}$ alors posons $E_i:=U^{-1}(\{a_i\})$. Il existe donc des $F_1,...,F_n\in \mathcal A$ tels que pour tout $i$. $X^{-1}(F_i)=E_i$ et si on pose $f:x\in T \mapsto \sum_{k=1}^n a_k \mathbf{1}_{F_k} (x)$ alors pour tout $t\in \Omega$, $f\circ X (t)=U(t)$ par construction.

(ii)Si $U$ est à valeurs dans $\R_+ \cup \{+\infty\}$ (resp $[0,+\infty[$.), montrons l'existence de $f:T\to \R_+ \cup \{+\infty\}$ (resp. $[0,+\infty[$) mesurable telle que $f\circ X=U$. SI $n,k\in \N$, soient $I(n,k):= \left[\frac{k}{2^n},\frac{k+1}{2^n} \right[$ et si $x\in \R_+ \cup \{+\infty \}$ $\alpha_n(x):=\max \left( n, \sum_{k=0}^{+\infty} \mathbf{1}_{I(n,k)} (x)\right)$. Alors pour tout $n\in \N$, $\alpha_n$ est à valeurs dans l'ensemble fini $\left \{\frac{k}{2^n}\mid 0\leq k \leq n2^n-1 \right\}$ et pour tout $x\in \R_+ \cup \{+\infty\}$ la suite $n \mapsto \alpha_n(x)$ est croissante et tend vers $x$.
Comme d'après (i) il existe une suite de fonctions $g_n:T \to \R$ telle que $\alpha_n \circ U= g_n \circ X$ pour tout $n$, si on pose pour tout $x\in T$, $f_n(x):= \max\{0, g_k(x)\mid 0\leq k \leq n\}$, on se retrouve avec une suite croissante de fonctions mesurables dont la limite $f:T\to \R_+ \cup \{+\infty\}$ est telle que $f\circ X =U$.
Si maintenant $U$ ne prend pas la valeur $+\infty$, soit $S:=\{y\in T \mid f(y)=+\infty\}$. Alors $S\subseteq T$ est mesurable. On pose alors $f'(z):=0$ si $z\in S$ et $f(z)$ si $z\in T\backslash S$ et on vérifie que cela donne bien une fonction mesurable de $T$ dans $\R$ telle que $f\circ X = U$.

(iii) $U:T\to \R$ mesurable quelconque. Alors $\sup(U,0):=\frac{U+|U|}{2}$ et $\sup(-U,0):=\frac{-U+|-U|}{2}$ sont toutes deux à valeurs dans $[0,+\infty[$ et $U$ est égale à leur différence. On applique alors (ii).

2°) Si $\mathcal B,\mathcal C$ sont deux tribus de $\Omega$ telles que $\mathcal C \subseteq \mathcal B$ et si $X:\Omega\to \Omega$ est l'identité (i.e. $X(p)=p$ pour tout $p\in \Omega$) alors $X$ est mesurable de $(\Omega,\mathcal $ dans $(\Omega,\mathcal C)$ et $\sigma(X)=\mathcal C$ (trivial: il suffit d'expliciter les définitions).
Ce résultat permet de voir l'espérance conditionnelle (avec $Z:(\Omega,\mathcal \to \left(\R,\mathcal B(\R) \right)$) $E(Z|\mathcal C)$ comme un cas particulier de $E(Z|X)=E\left(Z|\sigma(X) \right))$.

3°) donnons une version de 2°) moins artificielle.
Soient à nouveau $\mathcal B$ une tribu, $(Q_i)_{i\in I}$ une famille d'éléments de $\mathcal B$. Soit cette fois $\mathcal C$ la tribu engendrée par $\{Q_i \mid i \in I\}$. Soit $\mathfrak P$ le produit $\prod_{i\in I} \{0,1\}$ que l'on munit de la tribu cylindrique (i.e. la plus petite tribu contenant les ensembles de la forme $A(i,k):=\{t\in \mathfrak P\mid t_i=k \}$ quand $i$ parcourt $I$ et $k$ parcourt $\{0,1\}$).
Il s'avère que $\mathcal C$ est la plus petite tribu rendant mesurable l'application $X:a \in \Omega\mapsto \left(\mathbf 1_{Q_i}(a) \right)_{i \in I} $ (à nouveau exo trivial qui est un jeu d'écriture).
Donc en fait les $Q_i$ (les $\mathbf 1_{Q_i}$) sont des "questions" et lorsque $U:\Omega\to \R$ est une variable aléatoire, et $\xi$ un élément "inconnu" dans $\Omega$, $E(U|\mathcal C) (\xi)$ est la meilleure approximation (par ex au sens des moindres carrés, cf la description de $E(\cdot | \mathcal C)$ comme opérateur de projection dans $L^2$) que l'on puisse donner de $U$ quand la seule chose qu'on sache de $\xi$ est la liste des réponses aux questions $Q_i$, liste qui est $X(\xi)=\left(\mathbf 1_{Q_i}(\xi) \right)_{i \in I} $. Cette approximation s'écrit en fonction de $X(\xi)$ d'après 1°).
C'est aussi pour cela qu'on dit souvent que $\mathcal C$ représente une information et $E(Z|\mathcal C)$ est l'espérance conditionnelle de $Z$ "sachant" $\mathcal C$

4°) Revenons au sujet du fil, soient $(\Omega,\mathcal B,P)$ un espace probabilisé,$(T_i,\mathcal A_i)_{i=1,2}$ deux espaces mesurables et $X_1:(\Omega ,F)\to (T_1,\mathcal A_1)$ et $X_2:(\Omega ,F)\to (T_2,\mathcal A_2)$ deux variables aléatoires indépendantes .

On pose $\mathcal G:= \sigma(X_1)$ et $\mathcal F:=\sigma (X_1,X_2)$ (i.e. la plus petite tribu rendant mesurable $X_1$ et $X_2$, ce qui est exactement la même chose que $\sigma(Z)$ où $Z=\xi \in \Omega \mapsto \left(X_1(\xi), X_2(\xi)\right) \in T_1\times T_2$).

4.1°) pour toute $f:T_1\times T_2\to \R$ bornée (ou positive), si pour tous $p\in T_1$, $g(p)$ désigne $E\big(f(p,X_2) \big)$ alors on a presque sûrement $E\big(f(X_1,X_2) \mid X_1 \big)= g(X_1)$. (c'est un résultat classique trouvable dans tous les bons cours de probas. Pour le prouver on commence par traiter le cas où $f$ est de la forme $(t_1,t_2) \mapsto g(t_1)h(t_2)$ avec $g:T_1\to \R$ et $h:T_2\to \R$ mesurables et bornées et on conclut avec un lemme de classe monotone adéquat).

Alors une variable aléatoire $Y:(\Omega,\mathcal \to \R$ est indépendante de $\mathcal G$ si et seulement si elle est indépendante de $X_1$.
Dans le cas particulier abordé en 4.1°) $X:=X_1$ et $Y:=f(X_1,X_2)$ sont indépendantes si et seulement s'il existe $V\subseteq T_1$ mesurable tel que $P(X_1\in V)=1$ et pour tous $s,t\in A$, les lois de $f(s,X_2)$ et $f(t,X_2)$ sont identiques (i.e. vous avez beau savoir qui est $X_1$, le même aléa règne sur $f(X_1,X_2)$) (exo avec Fubini).

5°) Les noyaux conditionnels et la désintégration apportent un éclairage intéressant (je sais que je suis lourd avec ça, et l'inconvénient est aussi que la construction de tels objets est non triviale) Bon c'est pour un autre jour.