Opérateur de covariance
Bonjour,
Je suis nouveau dans le domaine des processus stochastiques, et je suis confronté à la notion d'opérateur de covariance, dont j'ai bcp de mal à pleinement comprendre la définition, surtout que je ne trouve pas de définition claire et unique !
Est-ce que quelqu'un aurait une définition claire et générale à me proposer ? Ou à défaut, un bon cours (doc ou livre) sur les processus stochastiques et le genre d'outils tel que l'opérateur de covariance ?
Par exemple je considère un processus stochastique $X : \Omega \longrightarrow \mathbb{R}^T$ avec $\Omega$ l'espace abstrait des évènement et $T$ un ensemble d'indexes continu. Je ne suis même pas sur de savoir donner une définition rigoureuse de l'espérance de $X$. Comme je l'ai compris, on fixe $t\in T$, et on calcule $E(X(t))$ pour tout $t$. Du coup $E(X) = {E(X_t)}_{t\in T}$ ? Ca me semble être une généralisation un peu bancale du cas dénombrable...
On définit aussi la covariance comme $cov(X_t,X_{t'})$.
Mais du coup, je vois des définitions d'opérateur de covariance comme $C(Y) = \int cov(X(t),X(t'))Y(t')dt'$. Ca veut dire qu'on considère les fonctions $t\longrightarrow X(t)$ où $X(t)\in L^2(\Omega)$ par ex. Quel sens a donc cette intégrale "fonctionnelle" ??? Je suis un peu perdu dans ces concepts...
En vous remerciant,
Je suis nouveau dans le domaine des processus stochastiques, et je suis confronté à la notion d'opérateur de covariance, dont j'ai bcp de mal à pleinement comprendre la définition, surtout que je ne trouve pas de définition claire et unique !
Est-ce que quelqu'un aurait une définition claire et générale à me proposer ? Ou à défaut, un bon cours (doc ou livre) sur les processus stochastiques et le genre d'outils tel que l'opérateur de covariance ?
Par exemple je considère un processus stochastique $X : \Omega \longrightarrow \mathbb{R}^T$ avec $\Omega$ l'espace abstrait des évènement et $T$ un ensemble d'indexes continu. Je ne suis même pas sur de savoir donner une définition rigoureuse de l'espérance de $X$. Comme je l'ai compris, on fixe $t\in T$, et on calcule $E(X(t))$ pour tout $t$. Du coup $E(X) = {E(X_t)}_{t\in T}$ ? Ca me semble être une généralisation un peu bancale du cas dénombrable...
On définit aussi la covariance comme $cov(X_t,X_{t'})$.
Mais du coup, je vois des définitions d'opérateur de covariance comme $C(Y) = \int cov(X(t),X(t'))Y(t')dt'$. Ca veut dire qu'on considère les fonctions $t\longrightarrow X(t)$ où $X(t)\in L^2(\Omega)$ par ex. Quel sens a donc cette intégrale "fonctionnelle" ??? Je suis un peu perdu dans ces concepts...
En vous remerciant,
Réponses
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Ce n'est pas une généralisation bancale du cas dénombrable. L'idée c'est que le passage du continu au discret se fait via l'usage de ce qu'on appelle les tribus cylindriques, et des lois fini-dimensionnelles. Cela revient à dire que l'on peut définir un processus continu en regardant uniquement ce qui se passe de façon discrète (à condition bien sûr de pouvoir regarder autant de points que l'on veut, et n'importe quels points).
Tout ceci est très vague, mais trop long à développer ici, je renvoie donc à quelques éléments sur le sujet:
- le chapitre 1 de ce poly (que je ne connais pas plus que ça) à l'air de reprendre mon explication dans le détail: https://perso.univ-rennes1.fr/jean-christophe.breton/Fichiers/processus_M2.pdf
- Une excellente référence est ce poly, mais c'est en anglais... http://www.statslab.cam.ac.uk/~james/Lectures/ap.pdf, chapitre 4, abordable si les notions en discrets sont bien maitrisées.
Bref du coup, tout ça permet de définir les notions d'opérateurs d'espérance et de covariance. A un temps $t$, l'opérateur d'espérance de $X$ va associer la valeur $\mathbb{E}[X_t]$, idem avec deux temps pour l'opérateur de covariance. C'est particulièrement utile pour caractériser le mouvement Brownien par exemple.
Je n'ai en revanche pas vraiment de réponse pour ta deuxième définition d'opérateur de covariance... J'ai l'impression que la fonction $Y$ joue le rôle d'une sorte de coût qui évolue avec le temps, mais sans plus de contexte je ne peux pas trop répondre.
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