Probabilité sur N

Alban_
Alban_
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour,

lorsqu'on lit un cours de probabilité niveau math spé, celui-ci commence toujours par un exposé (rapide) de la notion de tribu.

Je sais que pour définir une probabilité, on veut que la probabilité de l'union dénombrable soit égale à la somme des probabilité lorsque les événements sont disjoints. Donc l'union dénombrable doit être dans l'ensemble de définition de la fonction qui mesurera la probabilité et la notion qui va bien est celle de tribu.
Mais dans le cas où l'univers est $\N$, il me semble qu'on pourra toujours prendre l'ensemble des parties de $\N$ comme tribu (au contraire de $\R$, du fait de la non-mesurabilité de certaines parties) ?
Bref, je ne comprends pas l'intérêt de ces développements dans ce cadre (mais je me doute qu'il y en a un).
Dans le même ordre d'idée, est-ce qu'il existe des parties de $\N$ qui ne sont pas mesurables (pour une certaine mesure) ?

Réponses

  • Chalk
    Chalk
    La tribu canonique de $\N$ c'est effectivement la tribu discrète.
    Alban a écrit:
    Dans le même ordre d'idée, est-ce qu'il existe des parties de $\N$ qui ne sont pas mesurables (pour une certaine mesure) ?
    La mesurabilité n'a rien à voir avec la mesure. Et évidemment selon la tribu que tu mets tu as des parties non mesurables, par exemple si tu prends la tribu grossière. Avec la tribu usuelle toutes les parties de $\N$ sont mesurables.
  • Alban_
    Alban_
    Merci, je me suis effectivement mal exprimé puisque tout ensemble muni d'une tribu est mesurable.

    Je tente de reposer une question moins mal formulée. Si je me place sur l'espace mesurable $(\R, \mathcal P(\R))$ et si je note $\mu$ la mesure de Lebesgue, le triplet $(\R, \mathcal P(\R), \mu)$ n'est pas un espace mesuré du fait de l'existence de parties de $\R$ qui ne sont pas Lebesgue-mesurable. De la même façon, si je me place dans l'espace mesurable $(\N, \mathcal P(\N))$, est-ce qu'il existe des mesures $\mu$ telles que $(\N, \mathcal P(\N), \mu)$ n'est pas un espace mesuré ?

    J'espère que ça a plus de sens. En fait, je ne comprends par pourquoi dans le cadre des probabilités sur $\N$, on ne se place pas d'office dans l'espace mesuré $(\N, \mathcal P(\N))$ en se disant que de toute façon, toutes les mesures de probabilité que l'on va envisager feront que $(\N, \mathcal P(\N), \mu)$ est un espace mesuré ?
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Dans le cadre des probabilités, la mesure n'est pas quelconque.
    D'autre part, tu ne peux pas définir une mesure indépendamment de la tribu qui sert à la définir. Donc dans $(\N, \mathcal P(\N), \mu)$, soit $\mu$ est défini à partir de $\mathcal P(\N)$ comme une mesure, et il n'y a pas de problème, soit ce n'est pas le cas, et il n'y a aucune raison de penser que tu définis un espace mesuré (revoir la définition).

    Cordialement.
  • Chalk
    Chalk
    Toute mesure n'est pas forcément définie sur $\mathcal P(\N)$ ! Si je définis la mesure $\mu$ sur $\{\emptyset,\N\}$ qui vaut $1$ sur $\N$ et $0$ sur $\emptyset$ tu vois bien que par définition (et j'insiste sur par définition) $\mu$ n'est pas définie sur $\mathcal P(\N)$. La mesure est forcément définie sur une tribu, la mesure n'existe pas indépendamment de la tribu.
  • Alban_
    Alban_
    OK je comprends que ma question n'a pas de sens.

    Mais si je le reprends différemment (et cette fois, ça devrait avoir du sens même si ma question devrait être vraiment bête). A Bac +1, on fait des probabilités sur un ensemble fini. Un espace probabilisé fini est défini comme un couple $(\Omega, p)$ avec $\Omega$ un ensemble fini. Ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi dans le cas où l'ensemble est fini, on n'a pas besoin de faire référence à une tribu ?
  • Chalk
    Chalk
    Si si quand on fait les choses dans le bon cadre des probas on a bien sûr besoin d'une tribu même dans ce cas. C'est juste qu'on ne la précise pas toujours parce que dans ce cas précis on prend usuellement la tribu discrète, et du coup on n'est même pas obligé d'introduire le concept de tribus car avec cette tribu tout est mesurable de toute façon.

    Tout comme dans $\R$ on ne dit pas toujours explicitement qu'on est sur la tribu borélienne. Tout comme pour les fonctions réelles, on ne dit pas explicitement qu'on se place sur la distance valeur absolue. Tout cela est implicite et on ne le précise que lorsqu'on sort de ces conventions habituelles.
  • Ponctuel
    Ponctuel
    Voici un théorème. Soit $\mu$ une mesure de probabilité sur ${\cal P}(\N)$. Alors il existe un espace probabilisé $(\Omega,{\cal F}, P)$ et une suite $(X_n)_n$ de variables aléatoires indépendantes de loi $\mu$. Ici chaque $X_n$ est, comme d'habitude, une application mesurable de $(\Omega,{\cal F})$ dans $(\N,{\cal P}(\N))$ ou dans $(\R,{\cal B}(\R))$.

    Sans tribus, on ne peut énoncer ce théorème. L'ensemble $\Omega$ naturel est $\N^{\N}$. Si $\N$ est effectivement dénombrable, $\N^\N$ ne l'est pas. Là commencent les problèmes :-). La tribu naturelle est ce que l'on appelle la tribu produit.

    C'est pourquoi même si on se place à un niveau très élémentaire, on est très vite amené à devoir parler de tribus.
  • Siméon
    Siméon
    J'essaye de mettre des mots sur l'idée d'Alban :
    Pour toute tribu $\mathcal A$ sur $\N$ et pour toute mesure $\mu$ sur $(\N,\mathcal A)$, il existe une mesure sur $(\N,\mathcal P(\N))$ qui prolonge $\mu$.

    En un certain sens, on peut donc toujours prendre $\mathcal P(\N)$ comme tribu. Mais rien ne nous oblige à le faire, d'autant plus que le prolongement n'a rien d'unique en général.

    Exercice : caractériser les couples $(\mathcal A,\mu)$ pour lesquels il est unique.

    Il est d'ailleurs souvent bien pratique et plus naturel de se limiter à une sous-tribu. Sans entrer dans les détails, on peut aussi noter que la notion de sous-tribu est fondamentale pour l'étude des familles de variables aléatoires, ce qui est finalement le but de la théorie.

    P.S. Comme le dit skyffer3, ces remarques restent valables pour un univers fini.
  • Alban_
    Alban_
    Ok, je vous remercie de vos réponses. En fait, j'étais perturbé par le fait que les cours en dessous d'un certain niveau ne font pas référence aux tribus puis d'un coup (alors qu'on reste avec des probabilités discrètes), cela devenait indispensable et je ne comprenais pas pourquoi.

    Évidemment, je vois bien l'intérêt pédagogique de cet "oubli" et que comme le dit skyffer3, préciser la tribu utilisée dans certains cas reviendrait à dire "je travaille avec la valeur absolue".
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