Lien fonction de répartition espérance
Bonjour à tous et toutes, je suis face à un exercice pour lequel je bloque à la dernière question, je vous joins l'énoncé complet:
Soit X une variable aléatoire réelle admettant une fonction de répartition F de classe C1
On note Y = F(X).
a) Justifier que Y est bien une variable aléatoire réelle.
b) Montrer que Y est bornée.
c) Justifier l’existence de l’espérance de Y et la calculer
Pour cette fameuse question c), je difficilement comment passer de la fonction de répartition à l'espérance. Peut être existe-t-il une une formule analogue au cas discret $(E(X)=\sum P(X>k)) $ mais je n'en vois pas de trace dans mon cours. Si quelqu'un a une piste je suis preneur!
Merci d'avance et bonne soirée!
Aurélien
Soit X une variable aléatoire réelle admettant une fonction de répartition F de classe C1
On note Y = F(X).
a) Justifier que Y est bien une variable aléatoire réelle.
b) Montrer que Y est bornée.
c) Justifier l’existence de l’espérance de Y et la calculer
Pour cette fameuse question c), je difficilement comment passer de la fonction de répartition à l'espérance. Peut être existe-t-il une une formule analogue au cas discret $(E(X)=\sum P(X>k)) $ mais je n'en vois pas de trace dans mon cours. Si quelqu'un a une piste je suis preneur!
Merci d'avance et bonne soirée!
Aurélien
Réponses
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Il y a en effet une formule analogue. Si $Z$ est une variable aléatoire positive, alors $$\mathbb E(Z) = \int_0^{+\infty} \mathbb P(Z > t) \,dt.$$
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[confusion]
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Super, merci beaucoup!
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As-tu vraiment besoin de cette formule auxel75 ?
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Siméon a priori c'est le seul moyen que je vois… si tu as une autre piste je suis tout à fait preneur!
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As-tu pensé au théorème de transfert ?
-
Ah non je n'avais pas pensé à cette piste là!
Je vais essayer alors, merci!
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Bonjour!
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