Lien fonction de répartition espérance

Bonjour à tous et toutes, je suis face à un exercice pour lequel je bloque à la dernière question, je vous joins l'énoncé complet:
Soit X une variable aléatoire réelle admettant une fonction de répartition F de classe C¹


On note Y = F(X).
a) Justifier que Y est bien une variable aléatoire réelle.
b) Montrer que Y est bornée.
c) Justifier l’existence de l’espérance de Y et la calculer

Pour cette fameuse question c), je difficilement comment passer de la fonction de répartition à l'espérance. Peut être existe-t-il une une formule analogue au cas discret $(E(X)=\sum P(X>k)) $ mais je n'en vois pas de trace dans mon cours. Si quelqu'un a une piste je suis preneur!

Merci d'avance et bonne soirée!
Aurélien