Couplage avec la même réalisation

Soit une chaîne de Markov $(X_n)_n$ tel que, à tout temps $n$, on tire une loi uniforme (discrète par exemple) $U_n$ et $X_n = U_n$.
Si je pose $X_n = U_1$ pour tout $n$, c'est à dire que je simule la première réalisation selon une uniforme, puis que je garde cette réalisation pour tous les éléments suivants, j'ai bien que pour tout $n$, $X_n$ est simulé selon une loi uniforme. Pour autant il me semble que ce choix n'est pas légal. Je précise que mon but est bien simplement d'avoir la bonne marginale pour $X_n$, dans le cadre d'un couplage.

Quelqu'un voit-il ici un problème par rapport à ceci? Est ce que le fait qu'on s'intéresse uniquement à la loi permet bien de se concentrer individuellement sur chaque étape, sans prêter attention au fait que la probabilité de transition est dans ce cas l'identité à chaque étape ?

Edit: Question stupide en fait, la loi de la chaine n'est plus du tout respectée avec ce couplage. Je laisse ça la si un autre apprenti coupleur se pose la même question.