Exercice sur les fonctions caractéristiques
Bonsoir à toutes et à tous.
On considère X une v.a réel, et on note phi sa fonction caractéristique.
1) J'ai montrer que phi était périodique s'il existe a réel tel que supp(X) est inclu dans aZ
2) Supposons qu'il existe t réel différent de 0 tel que phi(t) = 1, montrer que supp(X) est inclu dans (2*pi/t)Z
3) Supposons qu'il existe t réel différent de 0 tel que |phi(t)| = 1. Montrer qu'il existe x0 tel que supp(X) est inclu dans (x0 + 2*pi/t)Z
4) Dire si ce sont des fonctions caractéristique. : cos²(t) et cos(t²).
1) j'ai réussi en utilisant une démonstration du cours pour a =1 j'ai donc généralisé mon résultat pour a quelconque différent de 0
2) phi(t) = 1 <=> E[cos(tX)] + iE{sin(tX)] = 1 <=> E[cos(tX)] = 1 <=> cost(tx) = 1 <=> tx = 2kpi <=> x = (2kpi)/t donc X est inclu dans (2pi/t)Z
3) Même raisonnement je trouve deux valeurs pour x0 : x0= 0 et x0 = pi/t
4) Je n'ai pas réussi.
Pouvez-vous me dire si la 2) et 3) sont correcte svp.
Bonne soirée
On considère X une v.a réel, et on note phi sa fonction caractéristique.
1) J'ai montrer que phi était périodique s'il existe a réel tel que supp(X) est inclu dans aZ
2) Supposons qu'il existe t réel différent de 0 tel que phi(t) = 1, montrer que supp(X) est inclu dans (2*pi/t)Z
3) Supposons qu'il existe t réel différent de 0 tel que |phi(t)| = 1. Montrer qu'il existe x0 tel que supp(X) est inclu dans (x0 + 2*pi/t)Z
4) Dire si ce sont des fonctions caractéristique. : cos²(t) et cos(t²).
1) j'ai réussi en utilisant une démonstration du cours pour a =1 j'ai donc généralisé mon résultat pour a quelconque différent de 0
2) phi(t) = 1 <=> E[cos(tX)] + iE{sin(tX)] = 1 <=> E[cos(tX)] = 1 <=> cost(tx) = 1 <=> tx = 2kpi <=> x = (2kpi)/t donc X est inclu dans (2pi/t)Z
3) Même raisonnement je trouve deux valeurs pour x0 : x0= 0 et x0 = pi/t
4) Je n'ai pas réussi.
Pouvez-vous me dire si la 2) et 3) sont correcte svp.
Bonne soirée
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Réponses
Ma réponse est bonne mais ma rédaction est mauvaise ? Ou mon résultat est faux :-S
Tu devrais étudier l'indication de ton énoncé !
On sais également que phi(t) = E[cos(tX)] + iE[sin(tX)] = 1
Et Re(phi(t)) = Re(1) = 1
Or Re(phi(t)) = E[cos(tX)]
1-Re(ph(t)) = 1-E[cos(tX)] = 1 <=> E[cos(tX)] = 1 et je reviens à mon raisonnement de tout à l'heure. Donc j'ai faux encore une fois!
phi(t) = intégrale sur R de e^(itx)*f(x) dx
1-E[cos(tX)] = 1 - intégrale sur R de e^(itx)*cos(tx) dx
Ce qu'il faudrait que tu écrives est juste la définition de l'espérance.
Je viens de voir sur internet et il s'agit de l'espérance d'une fonction de variable aléatoire. On a jamais étudier ça mais bon ça ne doit pas être si compliqué !
Sur un cours ils distinguent deux cas : discrète ou à densité mais nous ne sommes pas censé savoir dans qu'elle cas on se situe
Je ne vois pas comment faire, peux-tu me donner un second indice.
Ps : Y'a t-il un lateX incorporé sur le site ?
j'ai essayé de résoudre la 3ème question quelqu'un peut-il me dire ce qui cloche :-S
|phi(t)| = 1 <=> | E[cost(tX)] +i[sin(tX)] | = 1
(En utilisant l'indication de la question 2 sur la question 3)
Re( | phi(t) | ) = | E(cos(tX)] | = 1 <=> 1- | E(cos(tX)] | = 1 <=> |E(cos(tX)] | = 0 <=> E[cos(tX)] = 0 <=> cos(tx) = 0 <=> tx = pi/2 + 2pi ou tx = -pi/2 + 2pi
ceci donne x = pi/(2t) + 2pi/t et x = -pi/(2t) + 2pi/t.
Deux valeurs pour x0 = pi/(2t) + 2pi/t et x0 = -pi/(2t) + 2pi/t. ainsi j'ai bien supp(X) inclus dans { x0 + 2kpi/t, k entier relatif }.
C'est du grand n'importe quoi. La partie réelle d'un nombre réel est rarement différent de ce nombre...
Ce que tu peux commencer à faire c'est écrire $|\varphi(t)| = \varphi(t) \mathrm{e}^{i \theta}$ pour un certain $\theta$.
Je ne comprend pas ce raisonnement peux-tu me donner un indice
Tu ne veux pas arrêter d'écrire n'importe quoi ?
On a $$1 = \mathbb E(\mathrm{e}^{iXt+\theta}).$$ Ça ne te fait pas penser à la question 2 ?
Équivaut à
E(e^(itX+teta)-1) = 0
On pose Z = e^(itX+teta)-1
Donc E(Z)=0 si et seulement si Z=0 donc si e^(itX+teta)=1 et je reviens donc au raisonnement précédemment posté
Ici il faudrait que tu reconnaisses la valeur en $t$ de la fonction caractéristique d'une variable aléatoire bien choisie et que tu lui appliques le résultat de la deuxième question.
$$0=\mathbb{E}(Y)\geq \mathbb{E}(a1_{Y>a})=a\Pr(Y>a)>0.$$
Supposons maintenant qu'il existe $t_0\neq 0$ tel que $ \mathbb{E}(e^{it_0X})$ soit de module 1, donc egal a $e^{i\theta}$ pour quelque $\theta$ reel. Alors $1- \mathbb{E}(e^{i(t_0X-\theta)})=0$. Appliquons alors la remarque precedente a la va positive
$Y=1-\cos( t_0X-\theta)$, qui a bien une esperance nulle. Donc $1-\cos( t_0X-\theta)$ avec probabilite 1, donc $(t_0X-\theta)/2\pi$ est dans l'ensemble $\mathbb{Z}$ des entiers relatifs avec probabilite 1 donc, avec probabilite 1 $X$ appartient a l'ensemble $$\theta+\frac{2\pi}{t_0}\mathbb{Z}$$
Un grand merci à toi pour ces explications !
Pour l'autre exo j'ai écris cos(t²) sous la forme de deux exponentielles mais je ne reconnaît pas une fonction caractéristique connue.
Dois-je vérifier si ce que j'ai vérifie les propriétés d'une fonction caractéristique ?
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
$$ D'ailleurs, considerer seulement $t_1$ et $t_2$ suffit car $\mathbb{Z}\cap \frac{1}{\sqrt{2}}\mathbb{Z}=\{0\}.$ Donc $X$ est nul avec probabilité 1, donc sa fonction caractéristique est 1, et non $\cos (t^2)$. On a ainsi atteint une contradiction et $\varphi(t)=\cos (t^2)$ ne peut être une fonction caractéristique.