prolongement de mesure

Soit $\left(B_i\right)_{i\geqslant 1} $ une suite d'éléments deux à deux disjoints de $\mathcal F$. Pour chaque $i$, il existe une suite $\left(A_{i,n}\right)_{n\geqslant 1}$ d'éléments de $\mathcal A$ telle que $A_{i,n}\subset A_{i,n+1}$ et $
\bigcup_{n\geqslant 1} A_{i,n}=B_i$.

Alors pour chaque $n$ et $I$ fixés, $\bigcup_{i\geqslant 1}B_i\supset \bigcup_{i\geqslant 1}A_{i,n}\supset \bigcup_{i=1}^IA_{i,n}
$
et les $A_{i,n}, 1\leqslant i\leqslant I $ sont deux à deux disjoints donc
$$
\overline{\mu}\left(B\right)\geqslant \sum_{i=1}^I \mu\left(A_{i,n}\right).
$$
Puis il faut montrer que $ \mu\left(A_{i,n}\right)\to \overline{\mu}\left(B_i\right)$ quand $n\to +\infty$.
Donc tout se ramène à montrer la $\sigma$-sous-additivité.