Intégrale contre une mesure sur une algèbre
Bonjour,
Soit $E$ un ensemble et $\mu$ une mesure $\sigma$-additive sur un Anneau ou sur une Algèbre $\mathcal{A}$ sur $E$.
Est-ce qu'on peut définir une integrale par rapport à $\mu$ ?
Merci.
Soit $E$ un ensemble et $\mu$ une mesure $\sigma$-additive sur un Anneau ou sur une Algèbre $\mathcal{A}$ sur $E$.
Est-ce qu'on peut définir une integrale par rapport à $\mu$ ?
Merci.
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Réponses
On définit l'intégrale des fonctions étagées mesurables comme d'habitude puis on dit que l'intégrale d'une fonction mesurable positive $f$ est le sup des intégrales des fonctions étagées mesurables majorées par $f$. On a bien alors défini $\int f \rm d \mu$ pour toute fonction positive mesurable $f$. Là où ça se complique c'est lorsque l'on va vouloir redémontrer les théorèmes usuels : convergence dominée, convergence monotone, lemme de Fatou, linéarité de l'intégrale etc...
Tout ça pour dire que dans ton cas il vaut mieux appliquer le Théorème d'extension de Carathéodory et travailler avec une vraie mesure sur une vraie tribu.