Loi de X-[X] où X suit une loi uniforme
Bonsoir à tous !
Travaillant pour mon examen, je bloque sur un petit exercice assez simple je pense.
Voici l'énoncé.
Soit $X$ une variable aléatoire réelle suivant la loi uniforme sur $[0;n]$ ($X\sim U[0;N]$) où $n \in \mathbb{N}$
Quelle est la loi de $Y=X- \lfloor X\rfloor$ ?
J'envisageais de passer par la fonction de répartition :
$F_Y(t)=\mathbb{P}(Y\leq t)=\mathbb{P}(X- \lfloor X\rfloor\leq t) $
Pour les cas simples on a:
***Si $t<0$ alors $F_Y(t)=0$.
***Si $t\geq1$ alors $F_Y(t)=1,\qquad $ car $Y\in [0;1[ $ par définition.
Il ne reste que la partie la plus délicate :
***Si $t\in[0;1[$ alors:
$F_Y(t)=\mathbb{P}(Y\leq t)=?$
C'est ici que je bloque :-S
Je suis tombé sur un sujet similaire sur le forum
En posant $$\{Y\leq t\}=\{0\leq X - \lfloor X\rfloor \leq t\}= \bigcap_{n \in \N} \{n \leq X \leq n+t\} $$ (Je ne sais pas vraiment si cette égalité est vraie)
J'aurais alors : $$F_Y(t)=\mathbb{P}\Big(\bigcap_{n \in \N} n \leq X \leq n+t\Big)
$$ Suis-je sur la bonne voie selon vous ?
Je vous remercie d'avance pour votre aide et vous souhaite une excellente soirée !
Travaillant pour mon examen, je bloque sur un petit exercice assez simple je pense.
Voici l'énoncé.
Soit $X$ une variable aléatoire réelle suivant la loi uniforme sur $[0;n]$ ($X\sim U[0;N]$) où $n \in \mathbb{N}$
Quelle est la loi de $Y=X- \lfloor X\rfloor$ ?
J'envisageais de passer par la fonction de répartition :
$F_Y(t)=\mathbb{P}(Y\leq t)=\mathbb{P}(X- \lfloor X\rfloor\leq t) $
Pour les cas simples on a:
***Si $t<0$ alors $F_Y(t)=0$.
***Si $t\geq1$ alors $F_Y(t)=1,\qquad $ car $Y\in [0;1[ $ par définition.
Il ne reste que la partie la plus délicate :
***Si $t\in[0;1[$ alors:
$F_Y(t)=\mathbb{P}(Y\leq t)=?$
C'est ici que je bloque :-S
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En posant $$\{Y\leq t\}=\{0\leq X - \lfloor X\rfloor \leq t\}= \bigcap_{n \in \N} \{n \leq X \leq n+t\} $$ (Je ne sais pas vraiment si cette égalité est vraie)
J'aurais alors : $$F_Y(t)=\mathbb{P}\Big(\bigcap_{n \in \N} n \leq X \leq n+t\Big)
$$ Suis-je sur la bonne voie selon vous ?
Je vous remercie d'avance pour votre aide et vous souhaite une excellente soirée !
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Réponses
Prenons un exemple : n=3. X suit la loi uniforme sur [0;3] de densité $\frac 1 3$ entre 0 et 3, nulle ailleurs.
$F_Y(0,2) = P(X- \lfloor X\rfloor \le 0,2)=P(X\in [0; 0,2] \cup[1;1,2] \cup[2; 2,2]\cup\{3\}3) = 0,2\times \frac 1 3 \times 3 + 0$
Je te laisse généraliser ...
Je vais réécrire joliment la réponse pour $t\in[0;1[$ : \begin{align*}
F_Y(t)&=\mathbb{P}(Y\leq t)=\mathbb{P}(X- \lfloor X\rfloor\leq t)\\
& =\mathbb{P}(0\leq X- \lfloor X\rfloor\leq t) &\text{par définition} \\
&=\mathbb{P}(\lfloor X\rfloor\leq X\leq t+\lfloor X\rfloor) &\text{avec cette égalité j'aurais dû voir que cela amenait l'union}\\
&=\mathbb{P}\Big(\bigcup_{k=1}^{n+1}\big\{k\leq X\leq k+t\big\}\Big)
\end{align*}
$k$ va de $1$ à $n+1$ car on aura les intervalles $[0;t],\ [1;1+t] ,\ \ldots,\ [n;n+t]$
$\displaystyle F_Y(t)=\mathbb{P}\Big(X\in\bigcup_{k=1}^{n+1}[k;k+t]\Big)$
$\big\{X\in[k;k+t]\big\}$ et $\big\{X\in[m;m+t]\big\} $ étant des événements disjoints $\forall\ m\neq k$ on a :
\begin{align*}
F_Y(t)&=\sum_{k=1}^{n+1}\mathbb{P}\big(X\in[k;k+t]\big) \\
&=\sum_{k=1}^{n+1}\int_k^{k+t}\frac{\mathbb{1}_{[0;n]}(x)}{n}dx\\
&=\sum_{k=1}^{n}\int_k^{k+t}\frac{\mathbb{1}_{[0;n]}(x)}{n}dx+\int_n^{n+t}\frac{\mathbb{1}_{[0;n]}(x)}{n}dx\\
&=\sum_{k=1}^{n}\int_k^{k+t}\frac{\mathbb{1}_{[0;n]}(x)}{n}dx +0 \\
&=\sum_{k=1}^{n}\frac{t}{n}\\
&=t
\end{align*} D'où $$
F_Y(t)=\begin{cases}
0&\text{si }t<0\\
1&\text{ si }t\geq1\\
t&\text{si }t\in[0;1[
\end{cases}
$$ Cela semble bon non ?
[Ne pas abuser des expressions centrées ! AD]
Finalement, quelle est la loi de $X - \lfloor X \rfloor$ ?
Ah oui j'aurais dû l'écrire tout de suite:
On peut dériver la fonction de répartition pour obtenir la densité de proba:
$f_Y(t)=\frac{d}{dt}F_Y(t)$
$=1 \text{ si }t\in[0;1[ $
$=0\ \text{sinon}$
C'est à dire $f_Y(t)=\mathbb{1}_{[0;1[}(t)$ donc $Y\sim U[0;1]$ loi uniforme sur [0;1]
On aurait pu le déduire directement de la fonction de répartition mais je n'avais pas la formule en tête.
Merci beaucoup pour votre aide!
J'ai regardé un peu la question que vous aviez posé (cela ne correspond pas vraiment vraiment aux attentes de mon examen mais j'ai essayé quand par plaisir)
Comme j'avais pas trop d'idées sur où aller j'ai commencé par trouver la loi de $\lfloor X\rfloor$.
J'ai d'abord noté que les évènements $\big\{\lfloor X\rfloor\leq t\big\}$ et $\big\{X\leq \lfloor t\rfloor +1 \big\}$ étaient équivalents.
En rappelant que $X\sim U[0;n]$ et en partant de la fonction de répartition:
$F_{\lfloor X\rfloor}(t)=\mathbb{P}\big(\lfloor X\rfloor\leq t\big)$
$=\mathbb{P}\big(X\leq \lfloor t\rfloor +1)$
$=\int_{-\infty}^{ \lfloor t\rfloor +1}\frac{\mathbb{1}_{[0;n]}(x)}{n}dx$
**Si $t\leq-2$ alors $\lfloor t\rfloor +1\leq 0$ donc $F_{\lfloor X\rfloor}(t)=0$
**Si $t\geq n$ alors $\lfloor t\rfloor +1\geq n $ donc $F_{\lfloor X\rfloor}(t)=1$
**Sinon (si $\lfloor t\rfloor +1\ \in ]0;n[$):
$F_{\lfloor X\rfloor}(t)=\int_{0}^{ \lfloor t\rfloor +1}\frac{1}{n}dx$
$=\sum_{k=0}^{\lfloor t\rfloor}\int_{k}^{k+1}\frac{1}{n}$
$=\sum_{k=0}^{\lfloor t\rfloor}\frac{1}{n}$
$=\frac{\lfloor t\rfloor+1}{n}$
J'ai dû faire une erreur quelque part car si je dérive pour obtenir la densité je vais avoir une densité nulle presque partout (la dérivée de la partie entière est nulle presque partout me semble-t-il).
J'ai surement écrit une bêtise dans mes étapes mais où... bonne question.