Loi logistique

La densite de $X$ est $$f(x)=F'(x)=\frac{e^x}{(1+e^x)^2}=\frac{1}{2\cosh (x/2)}.$$ Comme $f$ est paire, l'esperance de $X$ est nulle. Pour la variance, je n'ai pas le courage d'effectuer deux penibles integrations par parties et je calcule plutot la TF de Laplace $ L(s)$ de $X$ ainsi: pour $-1<s<1$ on a par le changement de variable $y=e^x$
$$L(s)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{xs}f(x)dx=\int_0^{\infty}\frac{y^{s+1-1}}{(1+y)^2}dy=B(1+s,1-s)=\Gamma(1+s)\Gamma(1-s)=s\Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac{\pi s}{\sin \pi s}.$$ Et la variance est $L''(0).$