$P(2S^2+3T^2\leq6)$, S et T v.a gaussiennes

Bonsoir,
Encore un blocage sur un exercice... 8-)
Le problème porte normalement sur la question 4 mais je vais écrire mes réponses pour les questions précédentes (que vous puissiez vous y retrouver plus facilement)
Voici l'énoncé complet et mes réponses:

Soient X, Y et Z des v.a réelles indépendantes et de même loi $\mathbb{N}(0;1)$

On pose S=X+Y+Z et T=X-Z

1)Trouver la loi de S et T.

2) Calculer la covariance de S et T. S et T sont-elles indépendantes?

3) Quelle est la loi conditionnelle de S sachant T=t?

4) Calculer $\mathbb{P}(2S^2+3T^2\leq 6)$.

Voici mes réponses:

1) La réponse est sensée venir instantanément mais si on souhaite le démontrer il suffit de passer par la fonction caractéristique:
$\phi_{S}(t)=\phi_{X+Y+Z}(t)=\mathbb{E}(e^{it(x+y+z)})$
X,Y et Z étant indépendants:
$=\mathbb{E}(e^{itx})\mathbb{E}(e^{ity})\mathbb{E}(e^{itz})$
$=e^{-\frac{t^2}{2}}e^{-\frac{t^2}{2}}e^{-\frac{t^2}{2}}$
$=e^{-\frac{3t^2}{2}}$
Ce qui donne $S\sim\mathbb{N}(0,3)$.

Par le même raisonnement on a $T\sim\mathbb{N}(0,2)$.

2) ** On cherche d'abord la loi de $S+T$ et on montre alors (encore le même raisonnement) que $S+T\sim\mathbb{N}(0,2)$.
$cov(S,T)=\frac{1}{2}\big(Var(S+T)-Var(S)-Var(T)\big)$
$=\frac{1}{2}\big(5-3-2\big)=0$

** Pour l'indépendance de S et T, on rappelle que X,Y et Z sont des variables gaussiennes indépendantes donc (X Y Z) est un vecteur gaussien.
On voit aisément que (S T) est une transformation affine de (X Y Z) donc (S T) est un vecteur gaussien.
Comme cov(S,T)=0 et que (S T) est un vecteur gaussien, S et T sont indépendants.

3) Il suffit d'appliquer simplement la formule de la densité conditionnelle:
$f_{S|T=t}(s)=\frac{f_{(S,T)}(s,t)}{f_T{t}}$

Comme S et T sont indép on a:
$f_{S|T=t}(s)=\frac{f_T(t)f_S(s)}{f_T(t)}=f_S(s)$
Donc la loi conditionnelle de S sachant T=t est la loi de S (c'est à dire loi normale centrée de variance 3).

Je suis certain (presque sûrement :-P ) de ce que j'ai écrit jusqu'ici.

4) C'est ici que je bloque complètement.
J'ai essayé d'utiliser la méthode de la fonction muette pour trouver la loi mais le changement de variable à faire me semble bien compliqué.
On ne la pas du tout vu en cours mais il me semble bien que la somme de carré de v.a gaussienne donnait la loi du khi 2 mais dans les exemples que j'ai pu trouvé il n'y avait de coefficient.
Et en parlant de coefficient, le coefficient de $S^2$ correspond à la variance de $T$ et celui de $T^2$ à la variance de de $S$. Je ne pense pas que ce soit une coïncidence mais après que faire avec ?

Merci d'avance pour votre aide et bonne soirée à tous! :-D