Tribu trace, tribu engendrée

Bonjour,
Soient $X$ un ensemble, $X'$ une partie de $X$ et $S$ un ensemble de parties de $X$ et $S'$ l'ensemble des intersections de parties de $S$ avec $X'$ : $S':= \{A \cap X', A \in S\}$
Soient $T$ la tribu engendrée par $S$, $T_1$ la tribu trace de $T$ sur $X'$ et $T_2$ la tribu engendrée par $S'$.
On se propose de montrer que $T_1 = T_2$. \\
L'inclusion $T_2 \subset T_1$ est évidente, en effet $T_1 = \{B \cap X', B \in T\}$ et $S'$ est l'intersection de $X'$ avec des parties de $S$ qui sont toutes mesurables car $S \in T$. D'où $S' \in T_1$ et comme $T_2$ est la plus petite tribu contenant $S'$ alors on obtient l'inclusion voulue.
Réciproquement, pour montrer que $T_1 \subset T_2$, puisque $T_1$ est la trace de $T$ sur $X'$, l'idée est de construire une tribu $\mathcal{A}$ dont la trace sur $X'$ est $T_2$ avec $T \subset \mathcal{A}$, on aura dans ce cas $T_1 \subset T_2$.
Un candidat naturel de tribu $\mathcal{A}$ est $\{B \subset X, tel~que B \cap X' \in T_2\}$. $\mathcal{A}$ contient les éléments de $S$ (car, par construction, $S \cap X' = S'$ qui engendre $T_2$ donc appartenant à cette dernière), donc elle contient la tribu $T$ engendrée par les éléments de $S$ (c'est la plus petite tribu contenant $S$).
L’élément qui manque pour que tout ceci soit juste, peut être, correcte c'est de montrer que $\mathcal{A}$ est une tribu! C'est ce que je n'arrive pas à faire , j'ai essayé de trouver une application de $X'$ dans $X$ pour utiliser l'image directe d'une tribu et je n'ai pas réussi.
J'ai essayé avec l'injection canonique de $X'$ dans $X$ et la tribu $T_2$ sur $X'$ : la problème, peut être, c'est que $\mathcal{A}$ contient plus d’éléments que $T_2$, du coup l'injection ne va pas balayer tous les éléments de $\mathcal{A}$.
C'est peut être avec l'intersection qu'on construit cette application !, car si $G \in X$, une application dont l'image réciproque de $G$ donne $G \cap X'$ (qui appartient à $T_2$, le problème serait résolu ...
Pourriez-vous m'aider ?
Merci d'avance.