Minoration d'une espérance
Bonjour, je suis en train de travailler sur l'exercice suivant, c'est un extrait d'un Oral HEC
$X$ est une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé $(\Omega,A,P)$ qui suit la loi uniforme sur $[a,b]$ avec $1\leq a<b.$ Montrer que : $$
E\Big(X+\frac{1}{X}\Big)\geq a+\frac{1}{a}
$$ En effet $$
E\Big(X+\frac{1}{X}\Big)= \int_a^b \Big(x+\frac{1}{x}\Big)\Big(\frac{1}{b-a}\Big)dx = \frac{a+b}2+\frac{\ln(b)-\ln(a)}{b-a}
$$ comme $ \dfrac{a+b}2 >a$ et $ \dfrac{\ln(b)-\ln(a)}{b-a}=\dfrac 1 c$ par le théorème des accroissements finis.
$c$ est plus grand que $a $, donc $1/c$ est plus petit que $a$.
J'obtiens une inégalité qui n'est pas dans le bon sens.
Il y a peut-être un autre moyen pour arriver à la bonne inégalité.
$X$ est une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé $(\Omega,A,P)$ qui suit la loi uniforme sur $[a,b]$ avec $1\leq a<b.$ Montrer que : $$
E\Big(X+\frac{1}{X}\Big)\geq a+\frac{1}{a}
$$ En effet $$
E\Big(X+\frac{1}{X}\Big)= \int_a^b \Big(x+\frac{1}{x}\Big)\Big(\frac{1}{b-a}\Big)dx = \frac{a+b}2+\frac{\ln(b)-\ln(a)}{b-a}
$$ comme $ \dfrac{a+b}2 >a$ et $ \dfrac{\ln(b)-\ln(a)}{b-a}=\dfrac 1 c$ par le théorème des accroissements finis.
$c$ est plus grand que $a $, donc $1/c$ est plus petit que $a$.
J'obtiens une inégalité qui n'est pas dans le bon sens.
Il y a peut-être un autre moyen pour arriver à la bonne inégalité.
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Réponses
$ \displaystyle E\Big(X+\frac{1}{X}\Big)= \int_a^b \Big(x+\frac{1}{x}\Big)\Big(\frac{1}{b-a}\Big)dx $
Cordialement.
$X+\frac{1}{X}$ ,si on veut une minoration de $E(X+\frac{1}{X})$ , il faut intégrer !
si tu avais répondu à ma question, tu aurais pu conclure seul.
Si la variable aléatoire X prend uniquement des valeurs supérieures ou égale à a, alors $E(X)\ge a$. Dans ton cas, $X+\frac 1 X \ge a+\frac 1 a$, donc $E(X+\frac 1 X) \ge a+\frac 1 a$.
On a utilisé le fait que X prend ses valeurs sur [a,b] et que $a\ge 1$, mais pas la loi de X sur [a,b]. Donc le fait que X soit uniforme ne joue pas vraiment. le résultat serait le même si X ne prend que les valeurs a et b avec probas 2/3 et 1/3.
Cordialement.
Ici, on combine deux choses
- l'idée qu'il est possible de majorer (minorer) une espérance sans la calculer. Ce n'est pas une idée si simple, même pour une intégrale.
Après tout, même avoir écrit $E(X)=\frac1{b-a)} \int_a^b x+1/x$ (ce qui n'était pas nécessaire), on s'est débarrassé du substrat probabiliste, et le problème reste de minorer une intégrale.
- l'idée d'introduire une fonction pour minorer une quantité intermédiaire.
Suivant le vécu des gens, l'un ou l'autre des deux ingrédients peut sembler naturel (et peut être aucun).
Pour ma part, l'étude de fonction n'a pas été nécessaire, c'est un résultat que je connais par coeur pour avoir étudié dans ma jeunesse le problème de la minoration de
$(x_1+\dots+x_n)(\frac1{x_1}+\dots +\frac1{x_n})$ (avec des $x_i>0$)
(un exercice de concours général, je crois).
après avoir vu ta proposition, je me suis dit "que je suis bête ! c'est un simple exercice sur les propriétés de l'espérance". Il faut dire que je connais depuis longtemps cette fonction $x\mapsto x+\frac1 x$; et que j’avais raté le $a\ge 1$.
Mais il reste à prouver les propriétés de l'espérance ... ou au moins les connaître.
Cordialement.