un exercice sur la matrice de covariance

Soit des variables aléatoires $(X_1,\ldots,X_p)$ admettant une variance. On note $\Gamma = \left(cov(X_i,X_i)\right)_{1 \le i \le p \atop 1 \le j \le p}$ la matrice de covariance.

On montre que la quantité $\frac{1}{\|c\|^2} V\left(\sum_{i=1}^pc_iX_i\right)$ est maximum lorsque $c = (c_i)_{1 \le i \le p} \in (\R_+)^p$ non nul est un vecteur propre associé à la plus grande valeur propre de la matrice de covariance.

Dans cet exercice, on demande une application du résultat ci-dessus à 3 variables aléatoires $X_1$, $X_2$ et $X_3$ de variance respective $V_1$, $V_2$ et $V_3$ non nulle et de covariance $\forall (i,j) \in [\![1,3]\!]$ tel que $i \neq j$, $Cov(X_i,X_j) = \rho \in [0,1]$.

On pose $Y_i = \frac{X_i}{\sqrt{V_i}}$ et $\Lambda= \left(Cov(Y_i,Y_j\right)_{1 \le i \le 3 \atop 1 \le j \le 3}$.

On demande de déterminer les valeurs propres de $\Lambda$ et $c$ tel que $\frac{1}{\|c\|^2} V\left[\sum_{i=1}^pc_iX_i\right]$ soit maximal.

Au préalable on demandait de diagonaliser la matrice $A = \begin{pmatrix}
1 & \rho & \rho \\
\rho & 1 & \rho \\
\rho & \rho & 1 \\
\end{pmatrix}$ avec $\rho \in \R^+$.

On peut remarquer que $\Lambda= \Delta B \Delta$ avec
$\Delta$ la matrice diagonale $(V_1,V_2,V_3)$ et $\Gamma=Cov(X_i,X_j) = \begin{pmatrix}
V_1 & \rho & \rho \\
\rho & V_2 & \rho \\
\rho & \rho & V_3 \\
\end{pmatrix}$.

Je ne vois pas en quoi la diagonalisation de $A$ va me permettre de diagonaliser $\Lambda$ ou $\Gamma$.

Une idée ?