intégrale de Stieltjes sur R

Soit $\varphi:\R \to \R$ une fonction croissante et continue à droite (NB: cette condition est nécessaire, sans quoi ladite fonction ne pourra pas vérifier la relation $(\dagger)$ ci-dessous).
Il existe une unique mesure de Radon $\nu$ sur les boréliens de $\R$, telle que $$\forall a,b\in \R, a\leq b \implies \nu (]a,b])=\varphi(b)-\varphi(a) \tag{$\dagger$}$$.

On peut construire une telle mesure à l'aide du théorème de Riesz: Soit $T:=\{(x,y) \in \R^2 \mid x\leq y\}$. Soit $\mathcal E$ le sous espace vectoriel de $\R^{\R}$ engendré par les fonctions de la forme $\mathbf 1_{]u,v]}$ avec $(u,v)\in T$; on montre d'abord l'existence d'une unique forme linéaire $I$ sur $\mathcal E$ telle que pour tous $(a,b)\in T$, $I\big (\mathbf 1_{]a,b]} \big)=\varphi(b)-\varphi(a)$. $I$ est croissante (pour tout $u\in \mathcal E$ positive, $I(u)\geq 0$ et donc pour tous $v,w\in \mathcal E$, $v\leq w \Rightarrow I(v)\leq I(w)$). Si $(a,b)\in T$ notons $\mathcal E_{a,b}$ l'ensemble des $f\in \mathcal E$ nulles en dehors de $[a,b]$. Alors la restriction de $I$ à $\mathcal E_{a,b}$ est continue pour $\|\cdot \|_{\infty}$, (effet, si $f\in \mathcal E_{a,b}$, $\| f \|_{\infty}\leq 1$ si et seulement si $-\mathbf 1_{]a,b]} \leq f \leq \mathbf 1_{]a,b]}$ d'où $I(f)\leq \left|I \left(\mathbf 1_{]a,b]} \right) \right|$). Par suite la restriction de $I$ à $\mathcal E_{a,b}$ admet un unique prolongement $I'_{a,b}$ à l'adhérence $\overline {\mathcal E_{a,b}}$ de $\mathcal E_{a,b}$ et comme évidemment pour tous $(a,b),(c,d)\in T$, les restrictions à $\overline {\mathcal E_{a,b}} \cap \overline {\mathcal E_{c,d}}$ sont égales, $I$ se prolonge en une fonction $\tilde I$à la réunion de tels ensembles, réunion qui contient toutes les fonctions continues à support compact. Et ledit prolongement est une forme linéaire positive sur l'ensemble de ces fonctions à support compact. Soit alors $\nu$ (Riesz.) l'unique mesure de Radon telle que $\int_{\R} f d\nu=\tilde I(f)$ pour toute $f\in \mathcal C_c(\R)$.
Noter que l'unicité d'une mesure satisfaisant $(\dagger)$ est immédiate. En effet pour une telle mesure, l'intégrale correspondante coïncide avec $\tilde I$ sur les fonctions continues à support compact et on applique l'unicité dans le théorème de Riesz.


Montrons que $\nu$ ci-dessus satisfait $(\dagger)$. Soit $(a,b)\in T$.
Supposons $a\neq b$(le cas où ils sont égaux étant évident). Soient $r<b-a$, et pour tout $n\neq 0$, $x_n:= a-\frac{r}{2n}$, $ x'_n:=a+\frac{r}{2n}$, $y'_n:=b-\frac{r}{2n}$, $y_n:=b+\frac{r}{2n}$. On sait que pour tout $n$ il existe (via le lemme d'Urysohn), des fonctions $f_n,g_n :\R \to \R$ continues telles que $$\mathbf 1_{]x'_n,y'_n]}\leq \mathbf 1_{[x'_n,y'_n]}\leq f_n \leq \mathbf 1_{]a,b[}\leq \mathbf 1_{]a,b]} \leq \mathbf 1_{[a,b]}\leq g_n \leq \mathbf 1_{]x_n,y_n[}\leq \mathbf 1_{]x_n,y_n]} \tag{1}$$,ce qui entraîne d'une part en appliquant $\tilde I$ à $(1)$, que: $$\forall n\geq 1,\varphi(y'_n)-\varphi(x'_n) \leq \tilde I (f_n)=\int_{\R} f_nd\nu \leq \varphi(b)-\varphi(a) \leq \tilde I (g_n)=\int_{\R} g_nd\nu \leq \varphi(y_n)-\varphi(x_n) \tag{2}$$ et d'autre part, en intégrant $(1)$ par rapport à $\nu$, que $$\forall n\geq 1, \int_{\R} f_nd\nu \leq \nu(]a,b])\leq \int_{\R} g_n d\nu \tag{3}$$ Les relations $(2)$ et $(3)$ entraînent donc $$\forall n\geq 1, \varphi(y'_n)-\varphi(x'_n) \leq \nu(]a,b])\leq \varphi(y_n)-\varphi(x_n)\tag{4}$$.
Puisque $\varphi$ est monotone, l'ensemble $C$ de ses points de continuité est de complémentaire au plus dénombrable. En particulier $C$ est dense dans $\R$ .

Donc en résumé, et en passant à la limite dans $(4)$,on a le fait suivant: $$\forall (a,b)\in T \cap C^2, \nu(]a,b])=\varphi(b)-\varphi(a)\tag{5}$$. Soit maintenant $x \in C$ et $y\in \R$ quelconque. Il existe alors une suite $(y_n)_{\in \N}$ de $C$ décroissante tendant vers $y$ (densité de $C$). Alors $\nu(]x,y])=\nu\left(\bigcap_{n\in \N} ]x,y_n]\right)=\lim \limits_{n\to +\infty} \nu(]x,y_n])=\lim \limits_{n\to +\infty} \varphi(y_n)-\varphi(x)=\varphi(y)-\varphi(x)$. Bref l'égalité $(5)$ est encore valable lorsque $a\in C$ et $b$ est un réel quelconque supérieur à $a$.
Soient enfin $(u,v)\in T$ quelconque (avec $u<v$). Toujours par densité de $C$, il existe une suite $(u_n)_{n\in \N}$ de $C$ décroissante convergeant vers $u$ et telle que $u_n<v$. On a alors $\nu (]u,v])=\nu \left( \bigcup_{n\in \N} ]u_n,v]\right)=\lim \limits_{n\to +\infty} \nu (]u_n,v])=\lim \limits_{n\to +\infty} \varphi(v)-\varphi (u_n)=\varphi (v)-\varphi(u)$, d'où le résultat, compte tenu de ce qui précède et de la continuité à droite de $\varphi$.
CQFD.