Quelques questions sur les tribus

mathematico · November 2017

Bonjour,
J'ai quelques questions sur quelques démonstrations. Je commence par la première :
Question 1 : Proposition: La tribu des boréliens de $\mathbb{R}$ est engendrée par les intervalles de $\mathbb{R}$.
Si on note $T$ la tribu borélienne de $\mathbb{R}$ et $B$ la tribu engendrée par les intervalles de $\mathbb{R}$. Par stabilité d'intersection et d'union d'ouverts, tous les intervalles sont $T$- mesurables. Ainsi $B \subset T$ car $B$ est la plus petite tribu contenant tous les ouverts.
Pour montrer que $T \subset B$, on doit montrer que tout ouvert $O$ de $T$ est $B$-mesurable. Par définition $O$ un ouvert, donc pour tout $a $ appartenant à $ O$ il existe $\epsilon \ge 0$ tel que $ ]a- \epsilon, a+ \epsilon[ \subset O$. On peut donc écrire $U = \bigcup\limits_{ a \in O} ]a-\epsilon,a+\epsilon[$. Mais ici, rien ne garantit qu'une telle réunion est dénombrable ! Donc comment faire pour construire une telle réunion ?
Merci pour vous

skilveg · November 2017

Tu peux te restreindre à des intervalles de centre et de longueur rationnelles.

mathematico · November 2017

Et du coup c'est dénombrable parce que $\mathbb{Q}$ l'est ( $O = \cup_{(u,v) \in \mathbb{Q}^2} ]u,v[ $ )? et pourquoi on peut trouver des intervalles $]u,v[$ avec$u$ et $v$ rationnels tels que $]a-\epsilon,a+ \epsilon[ \subset ]u,v[$?
Dans le même ordre de question, je souhaite monter cette fois que la tribu borélienne de $\mathbb{\overline{R}}$ est celle engendrée par les intervalles $]a,+ \infty]$, on sait déjà que ces intervalles sont des ouverts de la tribu borélienne $\mathbb{\overline{R}}$, donc la tribu qu'ils engendrent notée $T$ est contenue dans $B$.
Réciproquement, je dois montrer que tout ouvert de la tribu borélienne de $\mathbb{\overline{R}}$ est un élément de $T$, ie, s'écrit comme une réunion ou intersection dénombrables d'intervalles de la forme $]a,+ \infty]$. Comment je peux le faire ?

Poirot · November 2017

Tu as le droit d'utiliser les complémentaires aussi.

mathematico · November 2017

Oui, l'auteur montre aussi que $[a,+\infty]$ appartient à la topologie $T$, pour tout $a \in \mathbb{\overline{R}}$ donc par passage au complémentaire, $[-\infty,a[$ appartient à $T$ et comme le complémentaire de $]a,+\infty]$ est $[-\infty,a]$, par des intersections dénombrables les singletons $\{a\}$ appartient à $T$.
Tout ça est clair mais :
Comment je peux conclure à partir du fait que $T$ contient que tous les singletons, qu'elle contient tous les ouverts de $\mathbb{\overline{R}}$?
Comment je montre que $[a,+\infty]$ est dasns $T$, comment on peut fermer en $a$ ? l'astuce des rationnels comment je peux l'utiliser ici ?

Poirot · November 2017

Tout ouvert de $\overline{\mathbb R}$ est réunion dénombrable d'intervalles ouverts, et tu peux obtenir tous les intervalles ouverts grâce aux éléments que tu as décrit.

Pour $[a, +\infty]$ il te sufft de prendre l'intersection des $]a - 1/n, + \infty]$, $n \in \mathbb N^*$.

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