Relation fonctionnelle et théorie de mesure

Rob42 · November 2017

Bonjour à tous,
Je suis actuellement sur un exercice en rapport avec la mesure de Lebesgue.
Le but est de montre que si f vérifie l' équation fonctionnelle de Cauchy et si cette fonction est Lebesgue intégrable alors cette fonction est linéaire sur R.

Pour prouver que la fonction est linéaire sur N ou Q aucun problème à ce niveau. Le souci c'est que je ne sais pas comment utiliser le fait que la fonction est Lebesgue intégrable pour arriver à la conclusion ...
Merci d'avance.

[À l'instar de Henri Lebesgue (1875-1941), Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) prend toujours une majuscule. AD]

Chaurien · November 2017

Plutôt que de recopier, je préfère transmettre trois pages qui rassemblent 12 conditions qui obligent les solutions de l'équation de Cauchy à être $\mathbb R$-linéaires.

Rob42 · November 2017

Merci pour ce document.
Cependant la preuve est assez technique... ne connaissez vous pas un moyen d'arriver plus simplement ?

Merci d'avance

Poirot · November 2017

Malheureusement c'est toujours assez technique de passer d'une hypothèse de mesurabilité à une propriété de "régularité"... Ici tu peux te restreindre à l'implication $xii \Rightarrow i$, c'est la preuve classique de Sierpinski.

Relation fonctionnelle et théorie de mesure

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