loi normale multivariée singulière

Saturne · November 2017

Bonjour,

Il est bien connu que si $\Sigma$ est symétrique définie positive, alors la loi $\mathcal{N}(0, \Sigma)$ existe, en prenant comme définition de $\mathcal{N}(0, \Sigma)$ la loi d'un vecteur gaussien (les combinaisons linéaires des composantes sont gaussiennes) et $\Sigma$ la matrice de variance-covariance de ce vecteur.

Plus généralement, si $\Sigma$ est seulement supposée symétrique positive, la loi $\mathcal{N}(0, \Sigma)$ existe ? J'ai du voir ça quand j'étais à la fac mais je ne m'en souviens pas.

P. · November 2017

Bien sur. Regarde ce que ca donne si $\Sigma=\mathrm{diag}(1,0).$ La Tf de Fourier est alors $\mathbb{E}(\exp(itX+isY))=\exp{-t^2/2}.$

Lucas · November 2017

Bonjour,

Dans le cas général on peut même construire cette loi explicitement de la façon suivante. Si $M$ est une racine carrée de $\Sigma$ alors $M X $ a la loi $\mathcal{N}(0,\Sigma)$, pour $X$ un vecteur formé de $\mathcal{N}(0,1)$ indépendantes.

Saturne · November 2017

Ok merci. J'avais oublié qu'il y avait existence d'une racine carrée dans ce cas. J'avais pris l'habitude de prendre Cholesky.

loi normale multivariée singulière

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