Densité de probabilité
Bonjour,
Pourriez-vous m'apporter votre aide pour avancer sur l'exercice suivant:
Soit $\alpha$ un paramètre réel strictement positif et $f$ l'application définie sur $\mathbf{R}$ par
$f(x)= \left\{
\begin{array}{1} \frac{1}{2} \alpha e^{-\alpha x} & \mbox{si} & x\geq 0 \\
\frac{1}{2} \alpha e^{\alpha x} & \mbox{sinon}
\end{array} \right. $
Soit $X$ une variable aléatoire réelle de densité $f$ , on pose $Y=|X| $ . Exprimer la fonction de répartition de $Y$ en fonction de celle de $X$.
Quelle est la loi de la variable aléatoire $Y=|X|$ ? En déduire la variance de la variable $X$.
J'ai préalablement vérifié que $f$ est bien une densité de probabilité.
Puis j'ai établit la relation entre les deux fonctions de répartition:
Pour tout réel $x$ , $F_{Y}(x)= \mathbb{P}(Y \leq x ) = \mathbb{P}(|X| \leq x) =\mathbb{P}(-x \leq X \leq x) = F_{X}(x) - \lim_{x \rightarrow -x} F_{X}(x) $.
Je vous remercie.
Camille
Pourriez-vous m'apporter votre aide pour avancer sur l'exercice suivant:
Soit $\alpha$ un paramètre réel strictement positif et $f$ l'application définie sur $\mathbf{R}$ par
$f(x)= \left\{
\begin{array}{1} \frac{1}{2} \alpha e^{-\alpha x} & \mbox{si} & x\geq 0 \\
\frac{1}{2} \alpha e^{\alpha x} & \mbox{sinon}
\end{array} \right. $
Soit $X$ une variable aléatoire réelle de densité $f$ , on pose $Y=|X| $ . Exprimer la fonction de répartition de $Y$ en fonction de celle de $X$.
Quelle est la loi de la variable aléatoire $Y=|X|$ ? En déduire la variance de la variable $X$.
J'ai préalablement vérifié que $f$ est bien une densité de probabilité.
Puis j'ai établit la relation entre les deux fonctions de répartition:
Pour tout réel $x$ , $F_{Y}(x)= \mathbb{P}(Y \leq x ) = \mathbb{P}(|X| \leq x) =\mathbb{P}(-x \leq X \leq x) = F_{X}(x) - \lim_{x \rightarrow -x} F_{X}(x) $.
Je vous remercie.
Camille
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