Limite suite vecteurs gaussiens

Krokop
Krokop
dans Probabilités, théorie de la mesure
Dans le cadre d'un exercice sur les "gaussiens" j'aimerais déduire du lemme suivant que si une suite de vecteurs gaussiens $(V_{n,1},\ldots,V_{n,d})_{n\ge 1}$ converge $(V_1,\ldots,V_d)$ alors il est aussi gaussien.

Lemme: Si une suite de v.a.r gaussiennes centrées $(X_n)_n$ converge presque sûrement vers $X$ alors $X$ est gaussien.

Bon déjà je suppose que si on veut le déduire du lemme il faut supposer le vecteur centré ? Dans tous les cas je ne vois pas comment vient cette déduction. On peut refaire la preuve avec les fonctions caractéristiques mais dans ce là ce n'est pas une déduction...

Une idée ?

(PS: je sais que cela reste vrai pour les v.a.r non centrées mais ça, c'est une autre affaire!)

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    La convergence en loi suffit pour conserver le caractère gaussien. Cela se lit sur la fonction caractéristique !
  • Krokop
    Krokop
    ???? As-tu lu ma question ?
  • Poirot
    Poirot
    Oui je l'ai lue et je ne comprends pas ce qui te gêne !
  • Krokop
    Krokop
    Je sais démontrer que la convergence se conserve pour la suite de vecteurs gaussiens: en utilisant les fonctions caractéristiques.

    La question de l'exercice est de le montrer en utilisant le fait que c'est vrai pour une suite de variables gaussiennes.
  • Poirot
    Poirot
    Dans ce cas, tu te ramènes à une suite de vecteurs gaussiens centrés. Chaque composante converge p.s. vers une variable gaussienne, il n'y a plus qu'à montrer l'indépendance des composantes du vecteur limite, et dans le cadre gaussien, celle-ci se lit sur la covariance ;-)
  • Krokop
    Krokop
    Les vecteurs limites seraient indépendants sans que la suite de vecteurs le soit? Hum, étrange, je ne l'aurais jamais pensé. Je vais regarder ça. Merci Poirot
  • Ponctuel
    Ponctuel
    Je ne comprends pas ce que te dit Poirot. Il faudrait par ailleurs que tu précises en quel sens est la première limite de ton message.

    Un vecteur aléatoire $(V_1,\dots,V_n)$ est gaussien si, pour tous réels $t_1,\dots,t_n$, la variable aléatoire $tX_1+\cdots+tX_n$ est une variable aléatoire gaussienne. C'est pour moi la définition. Si tu as la même ça te donne une bonne piste pour démontrer le résultat.
  • Poirot
    Poirot
    Oui je raconte n'importe quoi, ce n'est pas l'indépendance des composantes qu'il faut vérifier...
  • Krokop
    Krokop
    Moi j'avais compris le message de Poirot comme la convergence de la suite de vecteurs implique la convergence de chaque composante. Donc pour tout $i=1,\ldots,n\;\; V_i$ est une var gaussienne. Or $(V_1,\ldots, V_n)$ est gaussien si et seulement si $t_1 V_1+\ldots+t_nV_n$ est une var gaussienne, ce qui aurait ok si les $V_i$ étaient indépendantes.

    Là je pensais que c'était évidemment faux mais Poirot indique que non oui. Pour l'instant j'ai pas encore cherché la réponse.

    Peut-être que je mélange un peu tout, mais Ponctuel je ne vois pas comment on aboutit.
  • Krokop
    Krokop
    Ok, bon c'était facile, merci Ponctuel.

    En gros: Si $\langle t, (V_{n,1},\ldots, V_{n,d})\rangle$ converge en loi vers $\langle t, (V_{1},\ldots, V_{d})\rangle$ alors $ (V_{n,1},\ldots, V_{n,d})$ converge en loi vers $(V_1,\ldots, V_n).$

    Un petit argument avec les fonctions caractéristiques pour la démonstration.
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