Limite suite vecteurs gaussiens
Dans le cadre d'un exercice sur les "gaussiens" j'aimerais déduire du lemme suivant que si une suite de vecteurs gaussiens $(V_{n,1},\ldots,V_{n,d})_{n\ge 1}$ converge $(V_1,\ldots,V_d)$ alors il est aussi gaussien.
Lemme: Si une suite de v.a.r gaussiennes centrées $(X_n)_n$ converge presque sûrement vers $X$ alors $X$ est gaussien.
Bon déjà je suppose que si on veut le déduire du lemme il faut supposer le vecteur centré ? Dans tous les cas je ne vois pas comment vient cette déduction. On peut refaire la preuve avec les fonctions caractéristiques mais dans ce là ce n'est pas une déduction...
Une idée ?
(PS: je sais que cela reste vrai pour les v.a.r non centrées mais ça, c'est une autre affaire!)
Lemme: Si une suite de v.a.r gaussiennes centrées $(X_n)_n$ converge presque sûrement vers $X$ alors $X$ est gaussien.
Bon déjà je suppose que si on veut le déduire du lemme il faut supposer le vecteur centré ? Dans tous les cas je ne vois pas comment vient cette déduction. On peut refaire la preuve avec les fonctions caractéristiques mais dans ce là ce n'est pas une déduction...
Une idée ?
(PS: je sais que cela reste vrai pour les v.a.r non centrées mais ça, c'est une autre affaire!)
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Réponses
La question de l'exercice est de le montrer en utilisant le fait que c'est vrai pour une suite de variables gaussiennes.
Un vecteur aléatoire $(V_1,\dots,V_n)$ est gaussien si, pour tous réels $t_1,\dots,t_n$, la variable aléatoire $tX_1+\cdots+tX_n$ est une variable aléatoire gaussienne. C'est pour moi la définition. Si tu as la même ça te donne une bonne piste pour démontrer le résultat.
Là je pensais que c'était évidemment faux mais Poirot indique que non oui. Pour l'instant j'ai pas encore cherché la réponse.
Peut-être que je mélange un peu tout, mais Ponctuel je ne vois pas comment on aboutit.
En gros: Si $\langle t, (V_{n,1},\ldots, V_{n,d})\rangle$ converge en loi vers $\langle t, (V_{1},\ldots, V_{d})\rangle$ alors $ (V_{n,1},\ldots, V_{n,d})$ converge en loi vers $(V_1,\ldots, V_n).$
Un petit argument avec les fonctions caractéristiques pour la démonstration.