chiffres significatifs

bonux · November 2017

Bonjour,
Alors voilà j'ai bien saisi que lorsqu'on a affaire à une addition avec les chiffres significatifs, on prend en compte la mesure la plus imprécise pour faire apparaître le même nombre de décimales dans le résultat du calcul et que quand c'est une multiplication, la mesure la plus imprécise de la formule sert à déterminer le nombre de chiffres significatifs du résultat. Là où ça se complique pour moi, c'est lorsque j'ai à effectuer un calcul où il y a des additions ET des multiplications. Je ne comprends plus rien. Par exemple, dans la correction d'un exercice, pour (0,341 x 18,64 - 6,00) x 3,176 = 1,1 : j'ai beau retourner le problème dans tout les sens , je ne vois pas pourquoi le résultat a deux chiffres dont un après la virgule. Pouvez-vous m'expliquer ? Y a-t-il des règles que j'ai zappées ?

GaBuZoMeu · November 2017

Mettons que $0,341$ est là pour dire "entre $0,3405$ et $0,3415$".
Que vaut $(0,3405 \times 18,635 -6,005) \times 3,1755$ ?
Que vaut $(0,3415 \times 18,645 -5,995) \times 3,1765$ ?
Je trouve même que le $1,1$ est un peu optimiste !

bonux · November 2017

Je pense que tu parles de l'encadrement du résultat dans le cas d'une incertitude de lecture indéfinie.
Mais en décomposant le problème cette fois ci j'ai trouvé le résultat! Du coup ça fait 0.341*18.64=6.35624 mais comme 18.64 est la mesure la moins précise et que c'est une multiplication j'arrondis à 4 chiffres significatifs, soit 6.356 ; après je fais 6.356-6,00=0.356 et 6.00 étant la valeur la moins précise dans la soustraction, je compte deux décimales au résultat, soit 0.35 ; ensuite 0.35*3.176=1.1116 au vu de la multiplication et de l'imprécision de 0.35, je laisse 2 chiffres significatifs au résultat. Donc 1.1! Problème résolu... J'ai crié bien vite au loup... Merci à toi pour ta réponse!

Dom · November 2017

Quels sont les théorèmes utilisés pour ce raisonnement ?

1) "mais comme 18.64 est la mesure la moins précise et que c'est une multiplication j'arrondis à 4 chiffres significatifs"

2) "étant la valeur la moins précise dans la soustraction, je compte deux décimales au résultat"

3) "au vu de la multiplication et de l'imprécision de 0.35, je laisse 2 chiffres significatifs au résultat"

Je ne comprends pas bien.
N'est-ce pas des résultats liés à des encadrements, tout de même ?

YvesM · November 2017

Bonjour,

@bonux, tu ne sembles pas correctement appliquer la définition des chiffres significatifs.
0.341 possède 3 chiffres significatifs ; 18.64 en possède 4.
6.35 en possède 3 et 6.00 aussi.
0.35 en possède 2 et 3.176 en a 4 donc tu en laisses 2 au résultat soit 1.1.

@GaBuZoMeu,
0.341 signifie 0.341 +/- 0.001.
Pour écrire une incertitude de 0.005 il faut écrire 0.341(5).

La physique n’est plus enseignée ou quoi ?

GaBuZoMeu · November 2017

@YvesM : je ne vois pas où est la physique là-dedans. Par ailleurs, ton décompte de chiffres significatifs du résultat me semble hautement fantaisiste.

bonux · November 2017

@Dom : J'ai énoncé le théorème dans ma question, je sais pas si il a un petit nom particulier mais c'est comme ça que j'ai appris.

@YvesM : Je ne vois pas où est mon erreur puisque j'ai bien précisé après le 0.341*18.64=6.35624 que j'arrondissais à 6.356, donc en fonction des quatre chiffres significatifs de 18.64, et j'ai répété ma démarche pour les autres calculs.

Félix · November 2017

Pourquoi les quatre chiffres significatifs de 18,64 ? Ce qui limite la précision, ce ne serait pas plutôt les trois chiffres significatifs de 0,341 ?
Mais ces règles ressemblent davantage à une recette plutôt discutable qu'à une démarche raisonnée.
Elles ne semblent pas tenir la route quand on compare leur résultat à celui auquel aboutit la proposition de GaBuZoMeu.
Tu remarqueras que pour la borne inférieure du résultat on multiplie les valeurs inférieures des données mais on leur soustrait la valeur supérieure de 6,00. Et pour la borne supérieure, l'inverse.
Et l'interprétation d'Yves amène à élargir encore plus le domaine de l'imprécision.

GaBuZoMeu · November 2017

Appeler "théorème" un truc qui relève au mieux du doigt mouillé, c'est de la blague ?

@bonux, je t'ai proposé un calcul dans mon premier message, qui permettait de se faire une idée précise de l'encadrement du résultat, je parie que tu ne l'as même pas fait !

Reprenons. Faisons plaisir à YvesM, qui décrète que $a =0,341$ doit être lu comme $0,340 <a<0,342$. On a de même $18,63<b<18,65$, $5,99<c<6,01$ et $3,175<d<3,177$.
Que peut on dire de $e=(a\times b -c)\times d$ ? Un petit moment de réflexion nous montre que tout ce qu'on peut dire, c'est que $e$ est plus grand que $(0,340\times 18,63-6,01)\times 3,175 \simeq 1,0293$ et plus petit que $(0,342\times 18,65-5,99)\times 3,177\simeq 1,2336$. Écrire $e=1,1$, si on le lit comme $1,0<e<1,2$, est donc une petite filouterie.

bonux · November 2017

Si je suis le calcul de GaBuZoMeu j'obtiens l'encadrement 1.0803<S<1.1825,
Moi j'ai appliqué ce qui est dit dans ce cours par exemple : https://moodle.insa-rouen.fr/pluginfile.php/36778/mod_resource/content/8/STPI1_Poly_CS_Incertitudes_2017-08-29.pdf

mais bon je pense que vous avez raison sur la bonne méthode à employer.

bonux · November 2017

le résultat du calcul est 1.13141 ; je laisse deux chiffres significatifs et avec l'encadrement ça me donne 1.1 ±0.05

Dom · November 2017

Cela fait penser à une interprétation probabiliste.
Ou encore à la recherche d'une médiane quand des données sont rangées par classe : on détermine la classe médiane, puis on choisit le centre de ladite classe comme médiane.
Bon, le polycopié demande à être détaillé, notamment quant aux preuves de la cohérence des "règles" données.

YvesM · November 2017

Bonjour,

Mon message est correct. Relisez-le.

@GaBuZoMeu,

Lorsque tu calcules le 'minimum' et le 'maximum' tu ne fais pas l'hypothèse que les erreurs sur le chiffre uncertain sont gausiennes. C'est pourtant l'hypothèse qu'il faut faire car elle est à l'origine des règles d'arrondis.

Pour obtenir une erreur, il faut faire le calcul d'erreur standard : avec tes notations $N=(ab-c) d$ et donc ${\Delta N \over N} = {\Delta d \over d} + {a \Delta b + b \Delta a + \Delta c\over ab-c}$ avec $a=0.341$ et donc $\Delta a = 0.001$ ; $b=18.64$ et donc $\Delta b = 0.01$ ; $c=6.00$ et donc $\Delta c = 0.01$ ; $d=3.176$ et donc $\Delta d = 0.001.$ On calcule donc $N = 1.1$ (voir mon précédent message) et $\Delta N = 0.10.$ Le résultat attendu est donc entre $1.0$ et $1.2.$