Mesure de Lebesgue

Toborockeur · November 2017

Bonsoir.

Je dois démontrer l'équivalence entre trois propriétés. Laissez moi vous en présenter sept. Tout se fait avec la mesure de Lebesgue.

Soit $I$ un intervalle de $\R$, $A,B,B_1,B_2...$ des parties mesurables incluses dans $I$.

(a) $0\leq m(A) \leq m(I)$

(b) Si $A \subset B$ alors $m(A)\leq m(B)$

(c) $m(I\setminus A)+m(A)=m(I)$

(d) $m(\bigcup_{n=1}^{\infty} B_n)\leq \sum_{n=1}^{\infty} m(B_n)$

(d') Egalité si les $B_n$ sont disjoints deux à deux.

(e) $m(B_n)\uparrow m(A)\ $ si $\ B_1 \subset B_2 \subset \ldots\ $ et $\ \bigcup_{n=1}^{\infty} B_n = A$

(e') $m(B_n)\downarrow m(A)\ $ si $\ B_1 \supset B_2 \supset \ldots\ $ et $\ \bigcap_{n=1}^{\infty} B_n = A$

Je dois montrer l'équivalence entre les propriétés (d') (e) et (e'), en utilisant s'il le faut les autres propriétés. J'ai l'intention de montrer (d') $\Rightarrow$ (e) $\Rightarrow$ (e') $\Rightarrow$ (d'). J'ai déjà la première implication. Pour la deuxième, je pense qu'il faut créer à partir des $B_n$ une suite croissante et utiliser la (c) mais je n'arrive pas à formaliser tout ça.
Auriez-vous des indications ?
Merci.

Poirot · November 2017

Pour $e) \Rightarrow e’)$ il suffit de prendre les complémentaires et d’utiliser $c)$ judicieusement. Il faut quand même l’hypothèse supplémentaire $m(I)$ fini, ou au moins $m(B_1)$ fini, sinon c’est faux en général alors que $e)$ est toujours vrai.

Toborockeur · November 2017

Merci Poirot, oui j'ai oublié de rajouter ces hypothèses présentes dans le bouquin.

Toborockeur · November 2017

Je l'ai :

Je considère la suite croissante $I\backslash B_n$. D'après (e) et (c), j'ai $m(I\backslash B_n) \uparrow m(I\backslash A)$ et donc $m(I)-m(B_n) \uparrow m(I) - m(A)$, et enfin $m(B_n)\downarrow m(A)$.

Toborockeur · November 2017

La dernière implication me donne du fil à retordre. Je dois construire à partir de parties disjointes $B_i$ une suite décroissante ET un $A$ qui conviennent. J'ai pensé à prendre l'union pour premier terme, l'union sauf le $B_1$ pour le deuxième, etc.. Mais ça me donnerait comme $A$ l'ensemble vide si je ne m'abuse. Et j'aurais alors la mesure de mes nouveaux ensembles qui tend vers zéro. Je sui bloqué à partir de là, est ce la bonne direction à votre avis?

Poirot · November 2017

C’est ok pour $e) \Rightarrow e’)$.

Tu devrais corriger ton $d’)$, on parle de parties deux à deux disjointes, pas simplement disjointes ici.

Pour l’obtenir, je pense qu’il serait plus judicieux d’obtenir l’équivalence entre $e)$ et $e’)$ qui ne coûte pas plus cher, puis de te servir de $c)$ pour montrer que la mesure d’une union finie vaut bien la somme finie des mesures correspondantes, puis de te servir de $e)$.

Toborockeur · November 2017

Je sèche. Tu aurais une autre indication s'il te plaît?

Poirot · November 2017

Avec $c)$ dans $A \cup B$, tu as immédiatement que $m(A) + m(B) = m(A \cup

$ si $A$ et $B$ sont mesurables disjoints. Par récurrence tu en déduis facilement que $$m(A_1 \cup \dots \cup A_N) = m(A_1) + \dots + m(A_N)$$ si les $A_i$ sont mesurables deux à deux disjoints. Il reste juste à appliquer $e)$.

Toborockeur · November 2017

Bonsoir,

On considère une $B_1,B_2...$ une suite de parties disjointes mesurables de $I$. D'après le point (e), $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} m(\bigcup_{k=1}^{n} B_k) =m(\bigcup_{k=1}^{\infty}B_k)$, et comme la mesure d'une union finie de parties deux à deux disjointes est égale à la somme des mesures, il vient $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=1}^{n}m(B_k) = m(\bigcup_{k=1}^{\infty}B_k)$, et enfin le résultat annoncé : $ \sum_{k=1}^{\infty}m(B_k) = m(\bigcup_{k=1}^{\infty}B_k)$

Poirot · November 2017

C'est bon :-)

Mesure de Lebesgue

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