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Mesure de Lebesgue

Envoyé par Toborockeur 
Mesure de Lebesgue
l’an passé
avatar
Bonsoir.

Je dois démontrer l'équivalence entre trois propriétés. Laissez moi vous en présenter sept. Tout se fait avec la mesure de Lebesgue.

Soit $I$ un intervalle de $\R$, $A,B,B_1,B_2...$ des parties mesurables incluses dans $I$.

(a) $0\leq m(A) \leq m(I)$

(b) Si $A \subset B$ alors $m(A)\leq m(B)$

(c) $m(I\setminus A)+m(A)=m(I)$

(d) $m(\bigcup_{n=1}^{\infty} B_n)\leq \sum_{n=1}^{\infty} m(B_n)$

(d') Egalité si les $B_n$ sont disjoints deux à deux.

(e) $m(B_n)\uparrow m(A)\ $ si $\ B_1 \subset B_2 \subset \ldots\ $ et $\ \bigcup_{n=1}^{\infty} B_n = A$

(e') $m(B_n)\downarrow m(A)\ $ si $\ B_1 \supset B_2 \supset \ldots\ $ et $\ \bigcap_{n=1}^{\infty} B_n = A$

Je dois montrer l'équivalence entre les propriétés (d') (e) et (e'), en utilisant s'il le faut les autres propriétés. J'ai l'intention de montrer (d') $\Rightarrow$ (e) $\Rightarrow$ (e') $\Rightarrow$ (d'). J'ai déjà la première implication. Pour la deuxième, je pense qu'il faut créer à partir des $B_n$ une suite croissante et utiliser la (c) mais je n'arrive pas à formaliser tout ça.
Auriez-vous des indications ?
Merci.



Edité 3 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Toborockeur.
Re: Mesure de Lebesgue
l’an passé
Pour $e) \Rightarrow e’)$ il suffit de prendre les complémentaires et d’utiliser $c)$ judicieusement. Il faut quand même l’hypothèse supplémentaire $m(I)$ fini, ou au moins $m(B_1)$ fini, sinon c’est faux en général alors que $e)$ est toujours vrai.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Poirot.
Re: Mesure de Lebesgue
l’an passé
avatar
Merci Poirot, oui j'ai oublié de rajouter ces hypothèses présentes dans le bouquin.
Re: Mesure de Lebesgue
l’an passé
avatar
Je l'ai :

Je considère la suite croissante $I\backslash B_n$. D'après (e) et (c), j'ai $m(I\backslash B_n) \uparrow m(I\backslash A)$ et donc $m(I)-m(B_n) \uparrow m(I) - m(A)$, et enfin $m(B_n)\downarrow m(A)$.
Re: Mesure de Lebesgue
l’an passé
avatar
La dernière implication me donne du fil à retordre. Je dois construire à partir de parties disjointes $B_i$ une suite décroissante ET un $A$ qui conviennent. J'ai pensé à prendre l'union pour premier terme, l'union sauf le $B_1$ pour le deuxième, etc.. Mais ça me donnerait comme $A$ l'ensemble vide si je ne m'abuse. Et j'aurais alors la mesure de mes nouveaux ensembles qui tend vers zéro. Je sui bloqué à partir de là, est ce la bonne direction à votre avis?
Re: Mesure de Lebesgue
l’an passé
C’est ok pour $e) \Rightarrow e’)$.

Tu devrais corriger ton $d’)$, on parle de parties deux à deux disjointes, pas simplement disjointes ici.

Pour l’obtenir, je pense qu’il serait plus judicieux d’obtenir l’équivalence entre $e)$ et $e’)$ qui ne coûte pas plus cher, puis de te servir de $c)$ pour montrer que la mesure d’une union finie vaut bien la somme finie des mesures correspondantes, puis de te servir de $e)$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Poirot.
Re: Mesure de Lebesgue
l’an passé
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Je sèche. Tu aurais une autre indication s'il te plaît?
Re: Mesure de Lebesgue
l’an passé
Avec $c)$ dans $A \cup B$, tu as immédiatement que $m(A) + m(B) = m(A \cup B)$ si $A$ et $B$ sont mesurables disjoints. Par récurrence tu en déduis facilement que $$m(A_1 \cup \dots \cup A_N) = m(A_1) + \dots + m(A_N)$$ si les $A_i$ sont mesurables deux à deux disjoints. Il reste juste à appliquer $e)$.
Re: Mesure de Lebesgue
l’an passé
avatar
Bonsoir,

On considère une $B_1,B_2...$ une suite de parties disjointes mesurables de $I$. D'après le point (e), $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} m(\bigcup_{k=1}^{n} B_k) =m(\bigcup_{k=1}^{\infty}B_k)$, et comme la mesure d'une union finie de parties deux à deux disjointes est égale à la somme des mesures, il vient $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=1}^{n}m(B_k) = m(\bigcup_{k=1}^{\infty}B_k)$, et enfin le résultat annoncé : $ \sum_{k=1}^{\infty}m(B_k) = m(\bigcup_{k=1}^{\infty}B_k)$
Re: Mesure de Lebesgue
l’an passé
C'est bon smiling smiley
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