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Un problème de dénombrement

Envoyé par Toborockeur 
Un problème de dénombrement
l’an passé
avatar
Bonsoir à tous.

J'ai à vous soumettre un problème. Soit un jeu dont les règles sont les suivantes :
On considère un paquet de 81 cartes différentes, chacune ayant une couleur (bleu, rouge ou vert) un nombre (un deux ou trois) un remplissage (vide plein ou hachuré) et une forme (losange, S ou ovale).On mélange le paquet et on dispose douze cartes sur une table. On dit qu'un jeu de trois cartes est gagnant si et seulement si :
(Les couleurs sont toutes les mêmes ou toutes différentes) ET (Les nombre sont tous les mêmes ou tous différents) ET ( Les remplissages sont tous les mêmes ou tous différents) ET (Les formes sont toutes les mêmes ou toutes différentes).
Quand un joueur identifie un jeu gagnant, il retire les trois cartes, les met de coté, et en prend trois autres dans le paquet qu'il dispose sur la table avec celles restantes. Si aucun jeu gagnant n'est présent, on rajoute trois cartes, dès lors qu'un jeu gagnant est identifié dans les quinze cartes, on en retire trois sans en remettre et le jeu suit son cours. Si parmi les quinze cartes il n'y a aucun jeu gagnant, on les remet dans le paquet qu'on mélange et le jeu suit son cours.

Questions :

Combien y a t il de jeux gagnants?
Quelle est la probabilité que parmi douze cartes il n'y ait aucun jeu gagnant?
Même question parmi quinze cartes.
Avez vous des idées de probabilités ou de dénombrements à calculer?



Edité 3 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Toborockeur.
Re: Un problème de dénombrement
l’an passé
avatar
Je trouve 6480 jeux gagnants. Je n'ai pas encore les probabilités voulues.
Re: Un problème de dénombrement
l’an passé
avatar
Idée d'approche pour la seconde question : parmi 81 cartes, la probabilité est zéro, c'est assurément toujours le cas parmi 80 cartes, mais ça me permet de savoir combien de jeux gagnants ça m'enlève. Et ainsi de suite. Ou alors je détermine à partir de combien de cartes la probabilité est supérieur à zéro, c'est peut être plus simple. Ou a l'opposé je calcule cette probabilité pour trois cartes, puis pour quatre, et j'essaie de déterminer une sorte de formule générale.
Re: Un problème de dénombrement
l’an passé
avatar
Voilà un raisonnement que j'ai essayé mais qui ne marche pas, je ne comprends pas ou ça coince.

Si je prends deux cartes, pas de jeu gagnant possible évidemment, mais une seule carte dans le reste du jeu me donnera un JG (jeu gagnant). Donc $81\times 80 \times 78$ JNG (jeu non gagnant). Si j’étends ce résultat pour 4 cartes, les trois premières piochées doivent former un JNG, et parmi celles qui me restent, elles ne doivent pas former de JG avec les trois paires possibles avec les trois premières cartes choisies, donc $81\times 80 \times 78 \times 75$ JNG. Si je continue comme ça, il ne me reste plus de carte à partir de 9, or je sais que c'est toujours possible à douze (c'est dans les règles du jeu). Il y a donc une erreur dans mon raisonnement.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
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