Chaînes de Markov (Terminale S)

Bonjour

Voici un exercice extrait du manuel de TS spé maths Indice. Je n'obtiens pas le même résultat que les auteurs du livre, peut-être allez-vous pouvoir m'aider.

Je trouve comme matrice de transition (question 2) $$M=\left(\begin{array}{cccc} \frac{2}{3}&0&0&\frac{1}{3}\\
0&\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}\\
\frac{1}{3}&\frac{1}{6}&\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\\
0&0&0&1
\end{array}\right).$$

Cela ne colle pas avec la matrice $P$ proposée pour diagonaliser $M$. En diagonalisant $M$ par la matrice
$$
P=\left(\begin{array}{cccc}
1&1&0&0\\
1&0&0&1\\
1&1&1&1\\
1&0&0&0
\end{array}\right)
$$
je trouve une valeur de $M^n$ qui me permet d'en déduire les probabilités suivantes
$$
P(A_n)=\left(\frac{2}{3}\right)^n-\left(\frac{1}{3}\right)^n,\, P(B_n)=\left(\frac{1}{2}\right)^n-\left(\frac{1}{3}\right)^n,\, P(C_n)=\left(\frac{1}{3}\right)^n.
$$
Le résultat pour $P(C_n)$ me paraît bien clair, ceux sur $P(A_n)$ et $P(B_n)$ un peu moins.

Êtes-vous d'accord avec ce je trouve, notamment pour $M$ ?

Merci.