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Monte-Carlo sans indépendance

Envoyé par Georges Abitbol 
Monte-Carlo sans indépendance
l’an passé
Bonsoir,

soit $(B,\mu)$ un espace de probabilité sans atomes (tel qu'il existe $B_+$, $B_-$ disjoints de mesure $1/2$). Soient $(X_i)_{i\in \{1,...,n\}}$ une famille de vaiid de loi $\mu$, et $f \in L^2(B,\mu)$. Mon calcul me donne que $Var(\frac{1}{n}\sum^n_{i=1} f(X_i) - \int_B f) = \frac{1}{n} \left(\Vert f\Vert^2_2 - (\int_B f)^2\right)$, et donc que $\sup Var(\frac{1}{n}\sum^n_{i=1} f(X_i) - \int_B f) = \frac{1}{n}$, le sup étant pris sur les $f$ telles que $\Vert f \Vert_2 = 1$.

Je voudrais démontrer que quand on suppose seulement que les $X_i$ sont de loi $\mu$ c'est-à-dire qu'on ne fait plus d'hypothèse d'indépendance, que $\sup Var(\frac{1}{n}\sum^n_{i=1} f(X_i) - \int_B f) \geq \frac{1}{n}$.

Savez-vous si c'est vrai ?
Si oui, pouvez-vous me donner un coup de pouce ? Un mot clef ?
Merci !
Bonne soirée !

EDIT : Siméon ayant donné un contre-exemple, je rajoute l'hypothèse "sans atomes" qui n'était pas là avant.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Georges Abitbol.
Re: Monte-Carlo sans indépendance
l’an passé
avatar
Salut Georges,

C'est faux pour $n=2$ et la loi de Bernoulli symétrique : on peut même choisir une loi de couple pour laquelle le sup est nul.
Re: Monte-Carlo sans indépendance
l’an passé
Salut Siméon, merci pour ton intérêt et ta sagacité !
Si j'ai bien compris, tu proposes de prendre $B := \{0,1\}$, $X_1$ de loi de Bernoulli de paramètre $\frac{1}{2}$ et $X_2 = 1 - X_1$, et, presque sûrement, $\frac{1}{2}(f(X_1) + f(X_2)) = \int_B f$.
Je suis surtout intéressé par le cas où $B$ est sans atomes, et je ne sais pas encore si je peux m'aider de ton idée pour réfuter ma "conjecture".
Re: Monte-Carlo sans indépendance
l’an passé
Si quelqu'un a des raisons heuristiques de croire que le résultat qui m'intéresse est faux (ou le contraire), ou des références concernant le sujet en général, n'hésitez pas !
Re: Monte-Carlo sans indépendance
l’an passé
Tu auras besoin une suite de v.a. ou le shift n'est pas ergodique.

[mathworld.wolfram.com]
Re: Monte-Carlo sans indépendance
l’an passé
Salut, peux-tu détailler ? Je voudrais démontrer (si jamais c'est vrai) $\forall (X_i)_{i \in \{1,\ldots,n\}},\quad (\forall i,\ X_i : \Omega \rightarrow B \mbox{ est mesurable et }X_i \sim \mu)\ \Rightarrow \ \bigg(\sup\limits_{\substack{f \in L^2(B,\mu)\\ \Vert f \Vert_2 = 1}} Var\left(\frac{1}{n}\sum^n_{i=1} f(X_i) - \int_B f\right) \geq \frac{1}{n}\bigg),$ dans le cas où $(B,\mu)$ est sans atomes.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
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