Monte-Carlo sans indépendance
Bonsoir,
soit $(B,\mu)$ un espace de probabilité sans atomes (tel qu'il existe $B_+$, $B_-$ disjoints de mesure $1/2$). Soient $(X_i)_{i\in \{1,...,n\}}$ une famille de vaiid de loi $\mu$, et $f \in L^2(B,\mu)$. Mon calcul me donne que $Var(\frac{1}{n}\sum^n_{i=1} f(X_i) - \int_B f) = \frac{1}{n} \left(\Vert f\Vert^2_2 - (\int_B f)^2\right)$, et donc que $\sup Var(\frac{1}{n}\sum^n_{i=1} f(X_i) - \int_B f) = \frac{1}{n}$, le sup étant pris sur les $f$ telles que $\Vert f \Vert_2 = 1$.
Je voudrais démontrer que quand on suppose seulement que les $X_i$ sont de loi $\mu$ c'est-à-dire qu'on ne fait plus d'hypothèse d'indépendance, que $\sup Var(\frac{1}{n}\sum^n_{i=1} f(X_i) - \int_B f) \geq \frac{1}{n}$.
Savez-vous si c'est vrai ?
Si oui, pouvez-vous me donner un coup de pouce ? Un mot clef ?
Merci !
Bonne soirée !
EDIT : Siméon ayant donné un contre-exemple, je rajoute l'hypothèse "sans atomes" qui n'était pas là avant.
soit $(B,\mu)$ un espace de probabilité sans atomes (tel qu'il existe $B_+$, $B_-$ disjoints de mesure $1/2$). Soient $(X_i)_{i\in \{1,...,n\}}$ une famille de vaiid de loi $\mu$, et $f \in L^2(B,\mu)$. Mon calcul me donne que $Var(\frac{1}{n}\sum^n_{i=1} f(X_i) - \int_B f) = \frac{1}{n} \left(\Vert f\Vert^2_2 - (\int_B f)^2\right)$, et donc que $\sup Var(\frac{1}{n}\sum^n_{i=1} f(X_i) - \int_B f) = \frac{1}{n}$, le sup étant pris sur les $f$ telles que $\Vert f \Vert_2 = 1$.
Je voudrais démontrer que quand on suppose seulement que les $X_i$ sont de loi $\mu$ c'est-à-dire qu'on ne fait plus d'hypothèse d'indépendance, que $\sup Var(\frac{1}{n}\sum^n_{i=1} f(X_i) - \int_B f) \geq \frac{1}{n}$.
Savez-vous si c'est vrai ?
Si oui, pouvez-vous me donner un coup de pouce ? Un mot clef ?
Merci !
Bonne soirée !
EDIT : Siméon ayant donné un contre-exemple, je rajoute l'hypothèse "sans atomes" qui n'était pas là avant.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
C'est faux pour $n=2$ et la loi de Bernoulli symétrique : on peut même choisir une loi de couple pour laquelle le sup est nul.
Si j'ai bien compris, tu proposes de prendre $B := \{0,1\}$, $X_1$ de loi de Bernoulli de paramètre $\frac{1}{2}$ et $X_2 = 1 - X_1$, et, presque sûrement, $\frac{1}{2}(f(X_1) + f(X_2)) = \int_B f$.
Je suis surtout intéressé par le cas où $B$ est sans atomes, et je ne sais pas encore si je peux m'aider de ton idée pour réfuter ma "conjecture".
http://mathworld.wolfram.com/BirkhoffsErgodicTheorem.html