x(1-F(x)) tend vers 0 en +infini
Bonjour,
On montre facilement que si une V.A. à densité $X$ admet une espérance, alors $1-F_X(x)$ est négligeable devant $\dfrac1x$ en $+\infty$.
Auriez-vous un contre-exemple simple pour la réciproque (du moins si elle est fausse comme je le préssens) ?
J'ai essayé avec les loi de Cauchy et de Pareto mais ça ne me donne pas ce que je veux.
Merci d'avance.
On montre facilement que si une V.A. à densité $X$ admet une espérance, alors $1-F_X(x)$ est négligeable devant $\dfrac1x$ en $+\infty$.
Auriez-vous un contre-exemple simple pour la réciproque (du moins si elle est fausse comme je le préssens) ?
J'ai essayé avec les loi de Cauchy et de Pareto mais ça ne me donne pas ce que je veux.
Merci d'avance.
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Réponses
https://en.wikipedia.org/wiki/Pareto_distribution
- pour la loi de Cauchy, vers $\dfrac1\pi$
- pour la loi de Pareto avec $\alpha <1$, vers $+\infty$.
Moi je voudrais qu'il n'y ait pas d'espérance mais que l'on ait quand meme $x(1-F(x))\to0$.
Posons $f(t)=e\frac{1+\ln t}{t^{2}(\ln t)^{2}}$ si $ t \ge e$ et $f(t)=0$ sinon. C'est bien la densité d'une variable aléatoire $X$.
Cette variable aléatoire $X$ n'a pas d'espérance.
Par ailleurs, pour $x \ge e$ : $1-F_{X}(x)=\int_{x}^{+\infty }f(t)dt=e\int_{x}^{+\infty }\frac{1+\ln t}{t^{2}(\ln t)^{2}}dt=e[\frac{-1}{t\ln t}]_{t=x}^{t\rightarrow +\infty }$$=\frac{e}{x \ln x}$.
D'accord ?
Bonne nuit.
Fr. Ch.nt}
C'est bien la densité d'une variable aléatoire réelle $X$.
Cette variable aléatoire n'a pas d'espérance.
On a pour $x \ge 2$ : $1-F_{X}(x)=\int_{x}^{+\infty }f(t)dt=C\int_{x}^{+\infty }\frac{dt}{t^{2}\ln t}$.
Une IPP donne, pour $x>1$ : $\int_{x}^{+\infty }\frac{dt}{t^{2}\ln t}=\frac{1}{x\ln x}-\int_{x}^{+\infty}\frac{dt}{t^{2}(\ln t)^{2}}$, d'où : $\int_{x}^{+\infty }\frac{dt}{t^{2}\ln t}\sim \frac{1}{x\ln x}$ quand $x\rightarrow +\infty $.
Bonne nuit.
Fr. Ch.