Espérance conditionnelle

Quelle est la solution de ce problème de minimisation ? Est-ce la fonction de régression ? Si oui pourquoi ?
https://snag.gy/VLi9XB.jpg

Puis-je diren: si je me trouve dans $L_2(X)$ l'ensemble des fonctions mesurables pour la tribu engendrée par la v.a. $X$ la quantité $E[(Y-f(X))^2]:=\|Y-f(X)\|^2_{L_2(X)}$.

On cherche donc $Argmin_{f}\|Y-f(X)\|^2_{L_2(X)}$ (sur l'ensemble des fonctions mesurables pour la tribu engendré par la v.a. $X$).

On vient de se ramener à un problème d'analyse. On sait prouver que dans l'espace de Hilbert $L_2(X)$ le théorème de projection sur un convexe (ici l'espace vectoriel $L_2(X)$ en entier) nous garantit l'existence et unicité d'un minimiseur donné par la projection orthogonale de $Y$ sur $L_2(X)$. Or il me semble que c'est la définition de $E[Y|X]$.

Je serais très heureux d'avoir vos commentaires, vous pouvez bien sûr me corriger (où me paraphraser dans le cas où c'est juste) en employant la bonne terminologie car je ne suis pas très familier avec ces notions (mais je compte bien le devenir ^^)