Projection orthogonale

student2
student2
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour,

Pensez vous pouvoir m'expliquer à l'aide d'une preuve l'assertion suivante ? (la partie algébrique (ie) la projection orthogonale)
https://snag.gy/ZYP2Jx.jpg

PS: les données (une page) sont dans le début du document suivant https://www.math.univ-toulouse.fr/~besse/Wikistat/pdf/st-m-explo-afd.pdf

Réponses

  • bisam
    bisam
    Pour ce qui est de la projection, il suffit de calculer $P^2$ et de constater que ça donne bien $P$, compte tenu de $\bar{D} =T'DT$.
    On voit également que l'image de $P$ est incluse dans celle de $T$ et que réciproquement si $Y=TX$ est dans l'image de $T$ alors $PY=T(\bar{D}^{-1}\bar{D})X=Y$. Ainsi l'image de $P$ est celle de $T$.

    Enfin, pour le $D$-orthogonale... j'ai un peu de mal à saisir ce que cela veut dire, mais je suppose que cela signifie que la projection est orthogonale pour le produit scalaire défini par la matrice symétrique définie positive qu'est $D$.
    Je suppose également que $T'$ désigne en fait la transposée de $T$.
    Il suffit alors de vérifier l'identité $<X;PY>=<PX;Y>$, ce qui se traduit matriciellement par $X'DPY=Y'DPX$. On obtient alors la relation voulue en prenant la transposée de cette matrice $1\times 1$.
  • student2
    student2
    Merci pour ta réponse Bisam, je ne voyait pas non plus ce que signifiait D-orthogonal mais j'imagine maintenant que l'on construit un produit scalaire à l'aide de cette matrice $<x,y>_D=x'Dy$. Ca revient donc à montrer que $DP=PD$ .
    Du coup celà n'est pas démontré! Je ne comprends pas en quoi la transposition vous a permis de prouver cette égalité ?
  • student2
    student2
    Bonjour
    Pensez-vous pouvoir m'expliquer à l'aide d'une preuve l'assertion suivante ? (la partie probabiliste ie. comment on retombe sur l’espérance conditionnelle).
    https://snag.gy/ZYP2Jx.jpg

    PS: les données (une page) sont dans le début du document suivant https://www.math.univ-toulouse.fr/~besse/Wikistat/pdf/st-m-explo-afd.pdf

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  • bisam
    bisam
    Pour ce qui est de $D$-orthogonale, j'explique un peu mieux ce que j'ai compris.
    Si on reprend ce que j'ai dit plus haut : $$<X;PY>=X'DPY=(X'DT\bar{D}^{-1}T'DY)'=Y'D'T\bar{D'}^{-1}T'D'X=Y'DT\bar{D}^{-1}T'DX=<Y;PX>$$ puisque les matrices $D$ et $\bar{D}^{-1}$ sont diagonales donc symétriques.

    Pour le reste, il est très difficile de comprendre ce document pour quelqu'un qui n'a jamais étudié les statistiques ! De très nombreux termes sont considérés comme connus (quantitative, qualitative, modalité, etc.)... et plein d'autres sont implicites ("la variable T engendre une partition..." signifie que $\Omega_{\ell}=T^{-1}(\mathcal{T}_{\ell})$, il faut deviner que $\Omega=\{\omega_1,\dots,\omega_n\}$, les quantificateurs sont quasiment tous absents, etc.)

    Bref, c'est sûrement évident pour quelqu'un qui a suivi tout le cours... mais avec juste cette bribe, c'est franchement imbuvable.
  • student2
    student2
    @Bisam:merci ça me rassure car je me trouvais un peu bête à galérer sur ce cours que l'on m'avait conseillé. Je vais sans doute laisser tomber car c'est très demandeur en terme de concentration...
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