Probabilité d'avoir un système de Cramer

Très bonne question, je me demande si il ne serait pas plus judicieux de la transférer en section probabilité

Un petit hors sujet: en analyse/topologie on a tendance à penser que les "gros" sous-ensemble d'un ensemble donné sont les ensembles denses or une fois la dimension $n$ fixée, on montre que l'ensemble des matrices inversible est un ouvert dense de Mn(R). Mais en probabilité la notion de densité ne signifie pas toujours gros, à titre d'exemple Q est dense dans R et pourtant la probabilité de tirer un nombre aléatoire rationnel est presque surement nulle. (Du coup si l'on souhaite vérifier notre intuition sous matlab ça risque de poser problème, vu qu'un PC ne peut renvoyer que des rationnels (il ne renvoit que des rationnels lorsque l'on tape la commande rand() )

Tant que l'on ne précise pas comment on tire au sort, la question n'a pas de sens. Si les coefficients valent $1$, la probabilité que la matrice soit inversible est nulle. Si les coefficient sont indépendants et valent $1$ avec probabilité $1/2$ et $-1$ sinon, la probabilité n'est plus nulle, mais quelle est-elle... :-) ? J'imagine que tu te plaçais dans le cas où les coefficients étaient indépendants et uniformément distribués sur $[0,1]$. Dans ce cas la probabilité recherchée vaut effectivement $1$.

L'ensemble des $M\in M_n(\R)$ non inversibles est de mesure nulle, comme ensemble des racines d'un polynôme non constant ($dét$; cela a été rappelé plus haut).

Soit $M>0$ un entier. Soit $E_M$ l'ensemble de toutes les matrices non inversibles dont les coefficients sont inférieurs à $M$ en valeur absolue. $E_M$ est de mesure nulle lui aussi.


Soit $d$ un entier et $A_d(M)$ l'ensemble des $t=(t_{i,j})_{1\leq i,j \leq n} \in M_n(\Z)$ telle que $-10^dM \leq t_{i,j} \leq 10^d M -1$ pour tous $i,j$. Si $t\in A_d(M) $On pose $C_{M,d}(t):= \{x\in E_M \mid \forall i,j,10^{-d} t_{i,j} \leq x_{i,j} \leq (1+10^{-d} t_{i,j})| \}$. Enfin, Soit $E_M(d)$ la réunion de tous les $C_{M,d}(t)$ rencontrant $E_M$.

(en gros: $E_M(d)$ est le plus petit ensemble réunion de cubes de taille $\frac{1}{10^d}$ et à coordonnées décimales à $d$ chiffres après la virgule, recouvrant $E_M$)

Alors on a pour tout $d \in \N$, $E_M(d+1)\subseteq E_M(d) \subseteq [-M,M]^{n^2}$ et $E_M=\bigcap_{d=0}^{+\infty} E_M(d)$ (utiliser le fait que $E_M$ est fermé et que $M_n(\R)$ possède une base d'ouverts parallélepipédiques à coordonnées décimales). Par suite la mesure de Lebesgue de $E_M(d)$ tend vers $0$ quand $d$ tend vers l'infini.

Soit $\varepsilon>0$, $d$ assez grand pour que $\mu(E_M(d))<(2M)^d \varepsilon$. Si $B_d$ est le nombre de cubes de type $C_M,d(t)$ recouvrant $E_M(d)$, et $k_d$ leur nombre, on voit que $\mu(E_M(d))=\frac{k_d}{10^{dn^2}}$. D'autre part soit $t$ une matrice de $A_d(M)$ non inversible. Alors $\frac{1}{10^d}t \in E_M$. Donc $t\in B_d$.

Par suite la proportion de matrices non inversibles dans $A_d(M)$ est inférieure à $\frac{k_d}{(2M \times 10^d)^{n^2}}\leq \frac{(2M)^d \times 10^{dn^2}}{2M \times 10^d)^{n^2}}\varepsilon = \varepsilon$.

Et les matrices de la forme $\frac {1}{10^d} t$ avec $t\in A_d(M)$ sont exactement les matrices non inversibles, dont les coefficients sont majorés en valeur absolue par $M$, et dont développement décimal admet au plus $d$ chiffres après la virgule.

Bref leur proportion tend vers $0$ (même si certes une majoration explicite serait mieux).