Loi grands nombres, comportement asymptotique

Bonjour
Dans l'exemple suivant je n'arrive pas à comprendre pourquoi $\sum\limits_{i=1}^n X_ i - 1000 \approx \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}1000\cdot Z $ avec $Z\sim N(0,1)$.

Moi je pense qu'on doit avoir plutôt $\sum\limits_{i=1}^n X_ i - 1000 \approx 1000\sqrt{3}\cdot Z$ avec $Z\sim N(0,\sigma^2)$ avec $\sigma^2 = Var(X) = \frac{8}{9}$.

J'ai utilisé le théorème qui dit que Si $X$ est une variable aléatoire avec variance finie $\sigma^2$, et $X_1$,...,$X_n$,... sont indépendantes de même loi que $X$, alors on a la convergence suivante :

$\sqrt{n}\big(\frac{X_1+\cdots +X_n }{n}-E[X]\big) $ tends vers $N(0,\sigma^2)$ quand $n$ tends vers $\infty$.

Et puis juste une petite parenthèse, On veut dire quoi par $\Sigma ^{\frac{1}{2}} Z$ avec $\Sigma$ une matrice de covariance de dimension $n$ et Z un vecteur Gaussien Aléatoire de dim $n$ ?

Merci d'avance.