Calculs de probabilités au tirage
Bonjour,
J'aimerais utiliser les probabilités pour m'aider dans un jeu de lettres, mais pour cela, il me faut de l'aide (je suis davantage lettreux que matheux, dirons-nous).
Quelle est la formule permettant de déterminer la probabilité:
- De tirer une tuile T, présente à X exemplaires, en piochant Y fois dans un sac contenant Z tuiles au total ?
Pas sûr que ma demande soit exprimée de manière très académique, mais bon...
Merci infiniment!!
J'aimerais utiliser les probabilités pour m'aider dans un jeu de lettres, mais pour cela, il me faut de l'aide (je suis davantage lettreux que matheux, dirons-nous).
Quelle est la formule permettant de déterminer la probabilité:
- De tirer une tuile T, présente à X exemplaires, en piochant Y fois dans un sac contenant Z tuiles au total ?
Pas sûr que ma demande soit exprimée de manière très académique, mais bon...
Merci infiniment!!
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Réponses
On pioche avec remise ou sans remise ?
- Sans remise.
(Pour qui connaît, je parle du Scrabble)
Alors prenons un exemple concret pour m'aider à reproduire le raisonnement (qui est déjà compliqué pour moi ;-)
Je vais piocher 5 tuiles. Il en reste 21 dans le sac, dont 3 lettres T.
Quelle est la probabilité que je tire au moins un T ?
On peut généraliser ton exemple et celui de P. pour $X$ tuiles "T" dans un sac contenant $Z$ tuiles au total, dans lequel on pioche $Y$ fois sans remise.
D'abord, $Z > X$ évidemment (on suppose qu'il n'y a pas que des "T" dans le sac !).
Ensuite, si $Y > Z-X$, alors la probabilité de piocher au moins une lettre "T" est égale à 1. Ceci est la conséquence du principe des tiroirs, ou pigeonhole. En effet, si on pioche plus de tuiles qu'il n'y a de tuiles autres que "T", on est sûr de piocher au moins une lettre "T" !
Supposons maintenant $Y \le Z-X$ et commençons par calculer la probabilité de ne piocher aucun "T".
Par équiprobabilité des tirages (on pioche au hasard), elle est égale à :
$ \frac{nombre~de~cas~favorables~à~cet~événement}{nombre~total~de~cas} $.
Le nombre de cas favorables est le nombre de façons de choisir $Y$ tuiles parmi les $Z-X$ tuiles autres que "T", sans tenir compte de l'ordre : c'est le coefficient binomial $C_{Z-X}^Y $ (pour les vieux comme moi), ou encore $\binom{Z-X}{Y}$ (pour les kids).
Le nombre total de cas est le nombre de façons de choisir $Y$ tuiles parmi $Z$ sans tenir compte de l'ordre : c'est $C_{Z}^Y $ ou $\binom{Z}{Y}$ ($Y \le Z$ évidemment).
La probabilité de ne piocher aucun "T" est alors :
$ \frac{\binom{Z-X}{Y}}{\binom{Z}{Y}} $.
Enfin, la probabilité de piocher au moins un "T" (événement contraire du précédent) est alors :
$1- \frac{\binom{Z-X}{Y}}{\binom{Z}{Y}} $.