Espérance conditionnelle encore et toujours

student2 · January 2018

Bonjour
Dans l'extrait suivant : https://en.wikipedia.org/wiki/Expectation–maximization_algorithm#Description
que signifie $ Q({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {\theta }}^{(t)})= {E} _{\mathbf {Z} |\mathbf {X} ,{\boldsymbol {\theta }}^{(t)}}\left[\log L({\boldsymbol {\theta }};\mathbf {X} ,\mathbf {Z} )\right] = {E} _{\mathbf {Z} |\mathbf {X} ,{\boldsymbol {\theta }}^{(t)}}\left[l({\boldsymbol {\theta }};\mathbf {X} ,\mathbf {Z} )\right]$ ? (en notant $l$ la log vraissemblance).

Car si je fais le calcul (en gardant le notations Wikipedia): $l({\boldsymbol {\theta }};\mathbf {X} ,\mathbf {Z} )=\sum_i\sum_j1_{z_i=j}(\log(f(x_i;\mu_j,\Sigma_j)\tau_j)$ je ne sais plus comment poursuivre le calcul (mis à part utiliser la linéarité de l'espérance) puisque je ne sais plus vraiment ce qui est aléatoire ou pas ni ce que représente :${E} _{\mathbf {Z} |\mathbf {X} ,{\boldsymbol {\theta }}^{(t)}}$

student2 · January 2018

En fait j'imagine que la seule quantité qui est aléatoire dans la log vraissemblance explicitée sous forme de double somme, est la variable aléatoire $1_{z_i(w)=j}$ puisque si l'on connait $\mathbf {X} ,{\pmb {\theta }}^{(t)}$ ça veut dire que l'on fixe (au titre de constante) $\theta= {\theta }^{(t)}$ et l'on suppose les positions des $x_i$ connues.

Donc on est ramené au calcul de ${E} _{\mathbf {Z} |\mathbf {X} ,{\boldsymbol {\theta }}^{(t)}}(1_{z_i(w)=j})$.
Est-ce juste ?

L'écriture qui suit (Wikipédia) est elle juste ? Car on ne sait plus ce qui est aléatoire où non..., dans leur écriture on dirait que $z_i$ n'est pas aléatoire alors qu'en principe il l'est. https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09379a2ea73919245bca99e45fc8353f9d7db87f

Espérance conditionnelle encore et toujours

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