Convergence presque sûre
Bonjour,
Je voudrais prouver qu'une suite de v.a indépendantes et identiquement distribuées qui converge presque surement est constante presque surement. Je ne vois pas vraiment comment démarrer.
Merci.
Je voudrais prouver qu'une suite de v.a indépendantes et identiquement distribuées qui converge presque surement est constante presque surement. Je ne vois pas vraiment comment démarrer.
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Réponses
$X_n$ converge p.s. donc $X_n$ est de [large]C[/large]auchy en probabilité, i.e., $$ \forall \varepsilon > 0, \ \mathbb{P}(|X_n - X_m| > \varepsilon) \xrightarrow[n,m \rightarrow \infty]{} 0.
$$ Les $X_n$ sont i.i.d implique que $ \forall p \geq 1,\ X_n - X_m = X_p - X_0,\quad$ (en loi).
Donc $ \forall \varepsilon > 0,\ \forall p \geq 1,\ $ $$
\mathbb{P}(|X_p - X_0| > \varepsilon) = \mathbb{P}(|X_n - X_m| > \varepsilon) \xrightarrow[n,m \rightarrow \infty]{} 0.
$$ Donc $ \forall \varepsilon > 0,\ \forall p \geq 1,\ $ $$
\mathbb{P}(|X_p - X_0| > \varepsilon) = 0,$$ par suite, $ \forall p \geq 1,$ $$
\mathbb{P}(|X_p - X_0| > 0) = 0$$ donc $ \forall p \geq 1,$ $$ \mathbb{P}(X_p = X_0 ) = 1
$$ Ainsi, $$ \mathbb{P}(X_p = X_0,\ \forall p \geq 1 ) = 1$$ D'où le résultat.
[Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) prend toujours une majuscule. AD]
Si on a une suite de va iid, disons $(X_n)_n$ non constante. Se peut-il qu'elles convergent en loi ? Se peut-il qu'elles convergent en probabilité ?
En fait j'ai l'impression que la preuve précédente implique que la suite $(X_n)$ ne peut converger en probabilité. Du coup a fortiori elle ne peut converger en loi, et encore moins presque sûrement.
En effet: $\forall f $ continue bornée $$ \mathbb{E}\big(f(X_{0})\big) = \mathbb{E}\big(f(X_{n})\big) \longrightarrow \mathbb{E}\big(f(X_{0})\big) $$
2. Si $X_{n}$ converge p.s. alors $X_{n}$ est p.s. constante. (absurde)
3. Si $X_{n}$ converge en proba. alors $X_{n}$ admet une sous-suite qui converge p.s.
donc cette sous-suite est p.s. constante.
Puisque les $X_{n}$ ont même loi il s'ensuit que cette suite est p.s. constante (absurde).