Séquences PF et FF à Pile ou Face

Bonjour.
On a une pièce de monnaie, qui donne « Face » avec la probabilité $p \in ]0,1[$ et « Pile » avec la probabilité $1-p $. On lance cette pièce successivement et l'on désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de lancers donnant la séquence $PF$ et par $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de lancers donnant $FF$.

Par exemple : $P(X=1)=0$, $P(X=2)=p(1-p)$, $P(X=3)=p(1-p)$,
$~~~~~~$ et aussi : $P(Y=1)=0$, $P(Y=2)=p^2$, $P(Y=3)=p^2(1-p)$.

Pour $k\in \mathbb N^*$ soit $P(X=k)=p_k$ et $P(Y=k)=q_k$. On exprime $p_k$ sans difficulté et $q_k$ comme une suite à récurrence linéaire d'ordre $2$, et on calcule pour $X$ et $Y $ l'espérance et si l'on veut la variance .

Ensuite, je cherche à étudier la variable aléatoire $Z=Y-X$ en regardant pour chaque $ (k,j) \in \mathbb N^* \times \mathbb N^*$ les suites de lancers qui réalisent l'événement $[X=k] \cap [Z=-j]$ et celles qui réalisent $[X=k] \cap [Z=j]$. Je trouve des formules pour $P(Z=-j)$ et $P(Z=j)$, qui me donnent bien une espérance $E(Z)$ égale à $E(Y)-E(X)$, mais ensuite j'ai un défaut de cohérence dans les résultats, dont je ne trouve pas l'origine.

Alors je vous signale le problème dans l'espoir que quelqu'un s'y intéresse et trouve des résultats qu'on pourrait comparer aux miens.

Bonne journée.
Fr. Ch.