graphe dense

(i) Regarde du côté des solutions pathologiques de l'équation fonctionnelle de Cauchy.

(ii) Est-ce vraiment ta question ? L'identité fait l'affaire.

Posons $$\begin{array}{rccl} u:& \{0,1\} ^ {\N} & \longrightarrow & [0,1] \\& x & \longmapsto & \sum_{k=0}^{+\infty} 2^{-k-1}x_k \end{array}\qquad\text{ et }\qquad \begin{array}{rccl}v:&]0,1] & \longrightarrow& \R \\ &x & \longmapsto &\frac{1}{x} \sin \left(\frac{1}{x} \right )\end{array}$$.
$u$ et $v$ sont des applications surjectives. En fait l'image de $\{0,1\}^{\N} \backslash \{0\}$ est exactement $]0,1]$.

Soit $E$ l'ensemble des réels $x$ tels que si $\big(a_n(x) \big)_{n\geq 1}$ est le développement en base $10$ de la partie fractionnaire de $x$:
(i) il existe $n(x) \in \N$ tel que $a_{n(x)}(x)=2$,
(ii) pour tous $p>n(x)$, $a_p(x)\in \{0,1\}$ et enfin
(iii) il existe $q>n(x)$ tel que $a_q(x)=1$.

Il est clair qu'un tel $n(x)$, s'il existe, est unique (de même que la suite de $\{0,1\}$ correspondante).

On pose $f(x):=0$ si $x\notin E$ et, si $x\in E$, on pose $$
f(x):= v \circ u \left( \left( a_{k+1+n(x)} (x) \right)_{k \in \N} \right)=v \left ( \sum_{q=0}^{+\infty } 2^{-(q+1)}a_{q+1+n(x)}\right).
$$ $f$ est mesurable et la restriction de $f$ à chaque intervalle ouvert est surjective, ce qui entraîne notamment que son graphe est dense.