Une inégalité

Bonjour,

L'exo suivant a été donné à l'oral d'Ulm :

Soient $(\Omega,\, \mathcal{A},\, P)$ un espace probabilisé et $A_1,\, \dots , \, A_n$ des événements. Pour $1\leq k\leq n$ on note $C_k$ l'événement "appartenir à $A_i$ pour au moins $k$ valeurs de l'indice $i$". Montrer que :
$$
\prod_{k=1}^n P(C_k) \leqslant \prod_{k=1}^n P(A_k)
$$
Le rapport du jury (en pièce jointe) dit d'utiliser les propriétés d'idempotence d'un certain opérateur. Est-ce que quelqu'un peut m'expliquer à quoi ça sert dans la preuve ?

Pour les personnes intéressées, je joins une preuve qui correspond aux $n(n-1)/2$ itérations du rapport. Mais pour l'idempotence, je ne vois vraiment pas...

Merci d'avance, Michal