Probabilité de chevauchement
Je bute sur la généralisation d'une règle. :-X Du coup j'apprécierai volontiers un petit coup de main. Voici l'énoncé de mon problème :
Contexte :
J'ai un atelier et aujourd'hui (entre 7h et 17h), je dois commencer N opérations d'une durée défini Dn. Les opérations peuvent se chevaucher car j'ai un personnel illimité !
On considérera qu'une opération doit commencer entre 7h et 17h mais peuvent potentiellement se terminer le lendemain.
Mes opérations peuvent démarrer n'importe quand en suivant une loi de répartition uniforme et sont indépendantes les unes par rapport aux autres.
Mais ! pour réaliser cette opération, j'ai besoin d'un outil spécifique et je souhaiterai calculer la probabilité d'avoir besoin de "au moins X outils" en même temps.
Je mets une petite image pour illustrer.
Cas simple
Sur une journée entre Debut=7h et Fin=17h de durée J=10h avec 2 opérations de respectivement 2h et 2h, j'ai calculé une probabilité de "chevauchement" de mes opérations de : (si D1 et D2 < J)
P=(D1(J-D1/2)+D2(J-D2/2))/(J^2)=(2*9.5+2*9.5)/(10)=37%
J'ai 37% de chance d'avoir besoin de au moins 2 outils.
Pour résumer mon raisonnement,
- la densité de probabilité qu'une opération débute à l'heure X est 1/J car loi uniforme
- j'ai chevauchement si l'opération 2 début entre X-D2 et X+D1
- Je réalise une double intégrale du produit de mes densités de probabilite entre x=[0;J] et y=[max(X-D2,0),min(X+D1,J)]
(j'espère que c'est juste ?)
Cas chevauchement simple pour N opérations
Par contre là je coince... j'ai maintenant N opération de durée Dn et je souhaiterai calculer la probabilité d'avoir besoin de plus de 1 chevauchement (en gros la probabilité d'avoir besoin de >1 outill).
Naïvement, je me disais que je pourrai sommer la probabilité de tous les couples possibles (P12+P13+P23)... mais avec 3 opérations de 2h on tombe sur 120%... donc erreur. Empiriquement (merci Excel...), on devrait avoir environ 80 % de chance d'avoir besoin de au moins 2 outils.
Est ce que vous auriez une petite astuce ?
Cas chevauchement multiple pour N opérations
Et pour corser le tout si vous n'en n'avez pas assez...
Je me pose la même question pour calculer la probabilité d'avoir besoin de >k outil pour faire N opération de durée Dn sur une journée entre Debut et Fin
Empiriquement, pour le cas de 3 opérations de 2h, la probabilité d'avoir besoin de >2 outils devrait être d'entre 10 et 15%
Idem, si vous avez une astuce je suis preneur.
Merci d'avance !
Contexte :
J'ai un atelier et aujourd'hui (entre 7h et 17h), je dois commencer N opérations d'une durée défini Dn. Les opérations peuvent se chevaucher car j'ai un personnel illimité !
On considérera qu'une opération doit commencer entre 7h et 17h mais peuvent potentiellement se terminer le lendemain.
Mes opérations peuvent démarrer n'importe quand en suivant une loi de répartition uniforme et sont indépendantes les unes par rapport aux autres.
Mais ! pour réaliser cette opération, j'ai besoin d'un outil spécifique et je souhaiterai calculer la probabilité d'avoir besoin de "au moins X outils" en même temps.
Je mets une petite image pour illustrer.
Cas simple
Sur une journée entre Debut=7h et Fin=17h de durée J=10h avec 2 opérations de respectivement 2h et 2h, j'ai calculé une probabilité de "chevauchement" de mes opérations de : (si D1 et D2 < J)
P=(D1(J-D1/2)+D2(J-D2/2))/(J^2)=(2*9.5+2*9.5)/(10)=37%
J'ai 37% de chance d'avoir besoin de au moins 2 outils.
Pour résumer mon raisonnement,
- la densité de probabilité qu'une opération débute à l'heure X est 1/J car loi uniforme
- j'ai chevauchement si l'opération 2 début entre X-D2 et X+D1
- Je réalise une double intégrale du produit de mes densités de probabilite entre x=[0;J] et y=[max(X-D2,0),min(X+D1,J)]
(j'espère que c'est juste ?)
Cas chevauchement simple pour N opérations
Par contre là je coince... j'ai maintenant N opération de durée Dn et je souhaiterai calculer la probabilité d'avoir besoin de plus de 1 chevauchement (en gros la probabilité d'avoir besoin de >1 outill).
Naïvement, je me disais que je pourrai sommer la probabilité de tous les couples possibles (P12+P13+P23)... mais avec 3 opérations de 2h on tombe sur 120%... donc erreur. Empiriquement (merci Excel...), on devrait avoir environ 80 % de chance d'avoir besoin de au moins 2 outils.
Est ce que vous auriez une petite astuce ?
Cas chevauchement multiple pour N opérations
Et pour corser le tout si vous n'en n'avez pas assez...
Je me pose la même question pour calculer la probabilité d'avoir besoin de >k outil pour faire N opération de durée Dn sur une journée entre Debut et Fin
Empiriquement, pour le cas de 3 opérations de 2h, la probabilité d'avoir besoin de >2 outils devrait être d'entre 10 et 15%
Idem, si vous avez une astuce je suis preneur.
Merci d'avance !
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